生鏽圓規

圓規主要用於畫圓和圓弧。一般有大圓規、彈簧圓規和點圓規等三種。

基本介紹

  • 中文名:生鏽圓規
  • 類型:數學課題
  • 發現者:塔塔里亞
  • 時間:1673
簡介,方法,

簡介

生鏽的圓規
從15世紀到17世紀,許多數學家(包括三次方程求根公式的發現者塔塔里亞與卡丹,四次方程求根公式的發現者費拉里)研究過直尺和開口固定的圓規作正多邊形的方法。直到1673年,丹麥人摩爾證明:用直尺和開口固定的圓規可以完成一切尺規作圖。塔塔里亞(N·Tartaglia,1499~1557,義大利)在已知邊長的情況下用生鏽的圓規作出了正三角形。
1797年義大利數學家馬斯羅尼發現:只用一個圓規就可作出一切尺規作圖(丹麥的摩爾1697年就知道了,但傳播的範圍較窄)
法國數學家彭色列(J·V·Poncelet)在1822年進一步證明:預先在紙上畫一個圓(要有圓心),只用一把直尺就可完成一切尺規作圖。1833年德國數學家斯坦納(Jacob Steiner 1796~1863,生於瑞士,後居德國)的一本書里給這件事以更漂亮的證明。
只用一把直尺,這個也太高級了!基本上尺規作圖到這地步也就山窮水盡了,所以150年過去了,這一領域基本沒人說話。
意料之外的事發生了,在斯坦納1833年小書之後,沉寂了150年的尺規作圖舞台上演出了精彩的一幕。這一幕的主角是中國人,揭幕人就是著名的美國的幾何學家年逾七旬的老教授佩多(Pedoe)。佩多教授感覺生鏽的圓規應該不會像人們所想得那么簡單,他精心選擇了兩個問題在加拿大的一個數學雜誌上征解(我手頭沒有史資,無法查證,但我猜想這個加拿大雜誌很可能就是我們在其他版塊提到的《Crux》)
佩多教授提出的第一個問題(1979年提出):已知兩點A、B,只用一把生鏽的圓規(只能畫半徑為一的圓),能否作出點C,使得△ABC是正三角形?(由於沒有直尺,A、B兩點間也沒有線段相連)
佩多教授提出的第二個問題(1982年提出):已知兩點A、B,只用一把生鏽的圓規(只能畫半徑為一的圓),能否作出線段AB的中點M?(由於沒有直尺,A、B兩點間也沒有線段相連)
對於佩多的第一個問題,由於生鏽的圓規只能畫半徑為1的圓,當AB≤2時,佩多和他的學生找出了解決辦法,但對於AB>2時,從問題提出,三年過去了仍然找不出作圖的方法。正當數學家們猜測這也大概是一個“不可能”的作圖問題時,三位中國數學工作者:單墫、張景中、楊路(當時三人都在中國科技大學任教)在1983年用幾種不同的方法加以肯定解決:能作出!
佩多教授得知中國同行解決了他的第一個問題之後,非常高興,在一篇短文中他說這是他最愉快的數學經驗之一。他還說很希望能看到第二個問題的解答,無論是能與否!
關於佩多的第二個問題的解決也是數壇佳話之一:只上過高中的19歲的自學青年侯曉榮花了一年時間研究這個問題,在1985年解決了這個被不少數學家稱為無從下手的難題,他用代數的方法證明:用只可以作半徑為1的圓的生鏽的圓規可以完成一切普通的尺規作圖。侯曉榮的這一結果遠遠超出了佩多教授的期望,使許多數學家感到驚訝。

方法

根據侯曉榮的這一證明,張景中、楊路給出了一個較為簡單的作圖方法。
張景中院士在回憶這段歷史時指出:一個數學難題的解決,並不靠一兩手絕招;巧妙而曲折的步驟的產生,靠的是步步為營的縝密安排,先把難題分解為幾部分,再各個擊破!……,這是一塊硬骨頭,……,確實是經過幾個不眠之夜,頑強探索的結果。完成這么一個難以下手的作圖設計,眼光既要看到全局,作出戰略階段的劃分,又要細緻地分析每個細節,實現戰術任務。這一仗打下來,在尺規作圖這一古老課題的研究記錄上,寫下了中國人的一頁!

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