《環的凝聚性與復形的相對同調理論》是依託東南大學，由張小向擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：環的凝聚性與復形的相對同調理論
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：張小向
- 依託單位：東南大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
在同調代數中，模的復形是構造譜序列和導出範疇這兩大同調工具的基礎，同時它還可以看成模的推廣。近年來，越來越多的人開始研究復形範疇本身，而不再是僅僅把它當成一個工具。在此過程中，環的凝聚性常常扮演著重要的角色，許多已知的結論都是基於環的凝聚性的，而且一些經典的結果也可以推廣到凝聚環的情形。因此，本項目以模的復形為研究對象，結合環的凝聚性，一方面把模範疇中的有關結果推廣或套用到復形範疇，另一方面，利用覆蓋、包絡、譜序列、導出範疇等工具，發展超同調理論，同時利用復形刻畫環的有關性質，並將其中的部分結果推廣到更一般的Abel範疇。本項目的主要研究內容包括環的凝聚性、復形的覆蓋（包絡）與同調維數、復形的內部結構與自同態環等。這將進一步豐富現有的相對同調和超同調理論，為研究更一般的範疇提供具體的例子和理論源泉。
結題摘要
模與復形是代數學中重要的研究對象和工具. 人們利用這些工具得到了一些特殊的環與代數的結構、表示以及同調性質等方面豐碩成果. 在向更一般的情形推廣的過程中, 環的凝聚性往往起到關鍵的作用. 本項目圍繞環的凝聚性和復形的相對同調理論展開研究. 主要成果包括以下幾個方面: (1)在一些特殊的凝聚環上建立了相對於半對偶模的Tate同調Gorenstein同調理論; (2)把模範疇中的有關概念結果推廣到復形範疇, 給出了幾類重要的復形(如W-Gorenstein復形和Gorenstein FP-內射復形)的性質和等價刻畫; (3)研究了自同態環為除環的模以及自同態環為unit-正則環的模性質與結構, 並利用這些模刻畫了rudimentary環和V-環; (4)把模與復形範疇中的有關概念和結果推廣到更一般的範疇, 提出了相對於一個子範疇的相對導出範疇和相對於一個cotorsion triple的傾斜子範疇的概念. 這些成果為研究環與代數的結構與表示以及Abel範疇和三角範疇提供了新的思路和工具.
