法國第戎中學教師理察在1905年發表了一個悖論，大意如下：法語中某些片語表示實數，比如“一個圓的圓周與直徑之比”就表示實數π。法語字母也象英語字母一樣有一定的順序，所以我們可以把所有片語按照字母順序排列，然後按照片語中字母的多少排列，少的在前，多的在後。這樣我們把能用片語表達的實數排成一個序列，al，a2，a：，……。於是就得到了所有能用有限多字（字母）定義的數了。它們構成了一個可數集合E。我們提出一個規則把這個序列改變一下造成一個數來：“設E中第n個數的第n位為p，我們造一個實數如下：其整數部分為0，如果p不是8或9；其第n位小數為p+1，要是p是8或9的話，則第n位變成1。”這個實數顯然不屬於E，因為它和E中每個數都不一樣。但是它們卻可以由上面有限多個字組成的話來表示，因此應該屬於E，這就出現矛盾。
基本介紹
- 中文名：理察悖論
- 提出人：儒略·理察
- 提出年代：1905
- 提出人國籍：法國
理察悖論,悖論的解決,
理察悖論
1905年法國數學家儒略·理察首次描寫了這個悖論。今天它被用來顯示仔細區分數學與元數學的重要性。
如果選一種語言（如英語）來闡述和定義基數的純算術性質。我們先默認有些辭彙是作為像“公理”一樣的存在，作為數學語言定義的起點和基石，從而避免繞圈子和無限遞歸，這些辭彙本身我們先不討論，對之後悖論的展現也無關緊要。例如：假定我們清楚以下語句含義“一個數可以被另一個整除”，“一個整數是兩個整數的乘積”等。可以看出，每一個這樣的定義都只含有有限的字母（英文中）。因此所有定義可以按照順序排列：如果一個定義所用的英文字母數小於另一定義的字母數目，則將前一個定義排在後一個定義前面；如果兩個定義字母數相同，那么就將二者按照字母表的先後順序排出。按照此方法排列後，每一定義都有一個唯一的整數與之對應，這個整數代表了這個定義在定義序列中的位置，說穿了就是為每一個數學定義，按照定義的語句中字母個數和字母先後順序進行編號和排序，這種排序從以整數1開始依次遞增，所有序列號都是整數。
理察之後又設定了一套規則，判斷一個整數是否是理察數。詳情如下：既然每一個定義都有唯一一個整數序號與之對應，假如這個序號正好具有序號代表定義的性質，我們則說這個序號數字不具有理察性質，不是理察數。例如：有定義語句“不能被1和其自身以外的其他整數整除”，假如此定義語句對應的序號為17，顯然17這個數字滿足定義語句的性質，17就不是理察數。反之一個序號數字不具有它所代表定義的性質，那么我們說這個的數字具有理察性質，它就是理察數。例如：假定，定義語句“某一個整數與這個整數自身的乘積”對應序列號為15，但15不會是一個整數平方，所以15就不具備定義語句的性質，那么就可以說15是理察數。
悖論的出現：具有理察性質的定義表達語句也是可以用文字描述的，這個表達語句也是由字母組成，可以由一個序號來代表，同時這個表達句也可以排列在所有定義語句序列中，且存在唯一一個整數數字序號，代表其固定的排列位置。假如設這個序號數是X，X代表的定義語句是：一個數具有理察性質的文字表述，那么X是不是理察數呢？如果X這個數是理察數，那么就是說X不具備與X對應的定義表達句所闡述的性質時。就是說X是理查得數的話，若且唯若X不是理察數。該命令既真又假。（思路與羅素悖論相似）此為理察悖論。
悖論的解決
理查茲悖論並不是真正的悖論。在悖論排列定義時一個關鍵的、但是沒有提到的假設被忽略了。
我們說到列舉整數得著算術特徵，也就是說設計加法、乘法等的特徵。但是後來我們卻在這些加進去了一個關於算術特徵編號的特徵。一個數字是否理查茲性不是我們本來打算列舉的特徵之一，因為這個定義是關於一個描述的字數等等的元數學寫法。
因此要解決這個悖論我們需要區分數學（比如算術）和元數學（比如一個定義的寫法）。
“把所有片語按照字母順序排列”，是不可能組成有限集合的。編輯此集合時，也就是完成此集合前，法語：“集合E”無意義。因此不存在包含“集合E ”的代表實數的片語。
而在此集合出現後，集合E，出現意義，則原有集合已不符合編制集合的要求。必須編制新的集合。新集合包含全部含有“原有集合E” “集合E”的片語。
但在新集合完成後，原本無意義的詞“第一次修改過的集合E”，出現實際意義，則必須對集合進行第二次修改。
如此循環，滿足於 “把所有片語按照字母順序排列”的集合，必須為無限集合
且集合中包含含有如下詞條的全部片語：
“集合E”
“原有集合E”
“第一次修改後的新集合E”
“第二次修改後的新集合E”
……
“第N次修改後的新集合E”
包含這些詞條的全部片語，必定包含悖論中所造的實數。集合包含此實數。關鍵是這個集合不可能是可數集合
