《球面穩定同倫群與廣義Sullivan猜想》是依託南開大學，由劉秀貴擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：球面穩定同倫群與廣義Sullivan猜想
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：劉秀貴
- 依託單位：南開大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
項目研究內容主要有：一、球面穩定同倫群的深入研究；二、有關廣義Sullivan猜想問題的研究。球面穩定同倫群是穩定同倫論的中心問題之一，它對代數拓撲本身及其他許多數學分支都有著重要作用。廣義Sullivan猜想是有理同倫論中的一個重要問題，它具有很高的理論研究價值。本項目將利用Adams譜序列、May譜序列以及對由模 $p$ Steenrod 代數$A$的所有循環縮減冪$p^i$ ($i＞0$)生成的子代數$P$的上同調進行次數估計等工具對球面穩定同倫群進行進一步研究，證明球面穩定同倫群中若干低濾子的不可分解的同倫元素族的存在性和若干高濾子的同倫元素族的存在性。在有關廣義Sullivan猜想的研究中，我們主要考慮其在有理情形且$G$為Lie群時的情況。利用空間的Sullivan模型以及空間的李無窮代數模型等知識對映射$k$的代數模型以及同倫不動點集的有理同倫型等進行研究。
結題摘要
在本項目中，我們主要對球面穩定同倫群、廣義Sullivan猜想的相關內容進行研究。我們主要利用Adams譜序列、May譜序列等工具對球面穩定同倫群進行了進一步深入研究，證明球面穩定同倫群中若干非平凡同倫元素族的存在性，同時證明了若干模$p$Steenrod代數上同調中的非平凡乘積元素。在有關廣義Sullivan猜想的研究中，我們主要利用空間的Sullivan模型、空間的李無窮代數模型等代數拓撲知識，對某些特殊Lie群作用下的映射$k$的代數模型以及同倫不動點集的有理同倫型等內容進行了研究,得到了若干重要的研究成果。本項目的研究成果主要有： 1、球面穩定同倫群是穩定同倫論的中心問題之一，它對代數拓撲本身及其他許多數學分支都有著重要作用。我們利用Adams譜序列和May譜序列等工具，發掘了球面穩定同倫群的若干非平凡的同倫元素族，例如：我們證明了非平凡同倫元素$\beta_1\varpi_n\gamma_s$的存在性。模$p$Steenrod代數的上同調是我們利用經典Adams譜序列研究球面穩定同倫群首先面對的問題，因而其是我們決定球面穩定同倫群的最重要的數據。在本項目中，我們證明在模$p$Steenrod代數的上同調中存在非平凡的$h_nh_m\tilde{\delta}_{s+4}$-元素、$b_0^3\tilde{\delta}_{s+4}$-元素等。這些都是球面穩定同倫群的重要成果。 2、廣義Sullivan猜想是有理同倫論中的一個重要問題，它具有很高的理論研究價值。在本項目中，我們分別完全決定了李群$s^3$和$s^1\times S^3$在有理球面和有理復射影空間上作用的同倫不動點集的有理同倫型，並給出了當李群為$S^1$時，映射$k:X^{G}\rightarrow X^{hG}$是是有理同倫等價的充要條件。這些都是關於廣義Sullivan猜想研究的重要成果。 除了如上這些研究成果之外，我們在本項目中，利用空間的Sullivan模型、$L_{\infty}$模型等工具，在截面纖維化的相關性質、環面階數猜想、有理同倫論中的冪零指數等問題的研究中得到了若干研究成果。
