玻恩-蘭德公式是由玻恩（M.Born）和蘭德（Lander）發現並給出的一個計算離子晶體晶格能的公式。
基本介紹
- 中文名：玻恩-蘭德公式
- 外文名：Born-Lander公式
- 作用：計算離子晶體晶格能的大小
玻恩-蘭德公式,推導過程,
玻恩-蘭德公式
玻恩-蘭德公式：
在公式中，U表示離子晶體的晶格能，M表示馬德隆常數（與離子晶體結構有關），Z+，Z-表示晶體中陰、陽離子電荷。r0相鄰陰、陽離子間距。U以KJ/mol為單位，r0以pm為單位。
離子的晶體類型 | NaCl 型 | CsCl型 | CaF2型 | 閃鋅礦型 | 纖鋅礦型 |
M | 1.74756 | 1.76767 | 5.03878 | 1.63805 | 1.64132 |
推導過程
晶格能的理論計算是依據靜電作用定律，即陰、陽離子間的吸引力與電子之間、核之間的排斥力達到平衡時，體系能量達到最低。計算說明，陰、陽離子在晶體中比單獨離子對中更穩定。在實際的三維晶體結構，以NaCl（s）為例，每個Na+有最鄰近的6個Cl-（r0），有次鄰近的12個Na+（1.414r0），有次鄰近的8個Cl-（1.732r0）等，因此，受到的靜電作用能為
括弧中數值收斂於1.74756，此數成為馬德隆常數（Madelung constant）
馬德隆常數（M）與離子晶體結構有關，上表列出了典型無機晶體結構的馬德隆常數。
由於陰、陽離子的電子之間、原子核之間存在排斥作用，排斥能正比於1/r^n，所以
上式中，B為比例常數，n為玻恩指數，n與離子的電子構型的關係如下表所示。正負離子的電子構型不同時，取各自玻恩指數的平均值。
離子的電子構型 | He | Ne | Ar | Kr | Xe |
n | 5 | 7 | 9 | 10 | 12 |
考慮靜電作用能和排斥能，1mol離子晶體的總能量為
晶體最穩定狀態是在r=r0時，所以上式必有極值，則Er對r的一階導數應為0，這樣可求出常數B：
把B值帶入Er公式中，當r=r0時，並帶入所有常數，若晶體中的陰、陽離子電荷為Z+，Z-，得到玻恩-蘭德公式
用此公式計算所得的NaCl的晶格能為753.5KJ/mol，與玻恩-哈伯循環推算的結果相近。
