猜均值的2/3（Guess 2/3 of the average）是一個多人博弈，玩家同時給出一個0到100之間的實數，最後所給數字最接近這些實數的平均數的2/3的玩家獲勝。
基本介紹
- 中文名：猜均值的2/3
- 外文名：Guess 2/3 of the average
簡介,策略與均衡,均衡分析,均衡計算,相關實驗,
簡介
在1981年，阿蘭·勒杜首先在法國遊戲與謎題雜誌Jeux et Stratégie中使用了猜均值的2/3這一博弈遊戲作為最後的決出勝者的方法，他讓4000名在之前的謎題中獲得了相同分數的讀者同時提交一個1到1000000000之間的一個整數，最終所提交的整數最接近所有提交整數均值的2/3的讀者獲勝。在此之後，這類遊戲及其變種成為了博弈論和實驗經濟學中常見的素材，用於研究推理深度，大眾共識等課題。因其簡單有趣，容易實現，也常見於博弈論或經濟學的課堂活動。
事實上，這一博弈的關鍵思想：猜測其他人對均值的估計，從而決定自己提交的數字；而不是依據自己所估計的均值或理性推理的結果提交數字，在凱恩斯的1936年的著作《就業，利息與貨幣通論》的第12章中提到的凱恩斯選美大賽（Keynesian beauty contest）（凱恩斯虛構的報紙選美大賽，每人要從100張面孔中選出最具吸引力的6張面孔，所選結果與最終結果一致的可以獲得獎品）中就有體現。原文中提到“我們不是依據個人判斷來選出所認為的美女，甚至不是依據什麼是美女的平均觀點做出選擇，我們已經達到了第三層次，將智力投入到預測平均觀點將會如何選擇美女上。並且我相信有些人已經做到了第四，第五或者更高層次”。
策略與均衡
猜均值的2/3博弈的具體細節，如所能提交的數的範圍，只能提交整數還是允許提交實數，平局時獎勵如何分配等會影響到均衡分析。這裡我們按照下面的模型進行分析：
假設共有N名玩家，他們同時給出一個0到100之間的實數，最後所給數字最接近這些實數的平均數的2/3的玩家獲勝。我們用
來代表這N名玩家所給出的數字組合，並記它們的平均數為
，記
為這N個數字與其均值的2/3最小的距離，此時玩家的收益為
均衡分析
猜均值的2/3有數個純策略納什均衡，這些納什均衡具有一個共同的性質：處於納什均衡時所有玩家均會獲勝，即所有玩家選擇的數字和均值的2/3的距離都相同。下面我們從兩個方面說明這一結論。
- 假定至少存在一名玩家沒有獲勝，收益為0，不妨設其為玩家k。我們首先考慮玩家k給出的數字與均值的2/3之間的差距：
顯然最後一個式子中相減的兩項均為正數，且後一項不含
。我們下面說明：只要
不為0，我們總可以增加或減少的值使得為0，從而直接獲勝。
容易看出，後一項
的最小值為0，最大值為
，也就是除玩家k以外的玩家均提交最大數值100時取到最大值；前一項的最小值為0，最大值為
，也即玩家k提交100時取到最大值。那么只需要前一項的範圍不小於後一項的，玩家k就總可以改變策略使得兩項相等，從而為0。而這只需前一項的最大值大於等於後一項的最大值即可，這確實是成立的，因為：
故只要存在一名玩家沒有獲勝，他總可以單方面改變策略使得他恰好猜中均值的2/3，從而直接獲勝，收益得到提高，從而該策略組合不是納什均衡。
- 假定所有人均獲勝了，此時任何人單方面改變策略均不可能獲得更高收益，故所有人都獲勝時的策略組合一定是一個納什均衡。
均衡計算
根據上面的分析，我們已經知道處於納什均衡點時所有人均會獲勝。故所有人所猜的數字與均值的2/3的距離都相同，不妨將其記為d。依據d是否為0，對此博弈有下面具體的均衡刻畫：
- 假設，那么納什均衡為。原因如下：
由
，我們知道
對
成立，也即
對所有k都成立。那么由平均數的定義：
最後解方程
可知
，也即納什均衡為
。
- 假設，那么所有人的策略只可能有兩個取值，即與，不妨設有p位玩家選擇，q位玩家選擇，顯然p與q均為非負整數且有。此時由平均數的定義:
由此得到方程
，也即
。
- 當時，此時顯然所有玩家提交了一個相同的數，納什均衡形如
- 當時，此時有一些玩家提交了 ，其他玩家提交了 。一個具體的例子是（11，11，11，11，1）此時總和為45，均值為9，均值的2/3為6，所有人與6的距離均為5。更加詳細的刻畫應加入兩個限制條件：
- ，這是因為；
- ，這是因為。
我們可以注意到有一個均衡較為特殊且始終存在，即。事實上，這一均衡可以通過重複剔除弱劣勢策略的方法得到，過程如下：均值至多為100，那么均值的2/3至多為100*2/3；故對於所有超過100*2/3的數，我們都可以找到一個小於100*2/3的數，使得後者更接近均值的2/3。假定其他玩家也使用這一方法，那么所有玩家的選擇將會處於0到100*2/3的範圍內。依次類推，我們在重複n次這一推理後可將策略範圍縮小至0到
的範圍內，再取n趨向於無窮大，就可得到這一均衡。
相關實驗
猜均值的2/3的實驗進行過多次，但很少人會提交0這一數字，除了進行完全理性的假設與分析之外，想要更靠近均值的2/3還必須考慮他人的理性程度與實際選擇。最終均值的2/3常常為20左右的數值，且最終數值可能反映了參與人的推理深度（此模型中平局時平分獎勵，故只有唯一的納什均衡）。而在荷蘭雜誌Politiken在2005年舉辦的有20000人參加的實驗中，最終數值為22.2。
