牽制控制

20世紀末，由於和網路拓撲特性密切相關，關於具有固定和連通拓撲結構的大規模動態網路的牽制控制受到廣泛關注。牽制控制的基本思想是: 通過有選擇地對網路中的少部分節點施加控制而使得整個網路具有期望的行為。比起對所有節點進行控制的方式，由於較小的資源花費，對網路的小部分節點套用局部反饋控制的牽制控制是更有吸引力和令人期待的。

基本介紹

• 中文名：牽制控制
• 外文名：Pinning Control
• 起於：20世紀末
• 思想：牽一髮而動全局
• 優點：控制節點少，資源花費低
• 基本問題：可行性和有效性問題
• 套用：社會、電力、交通、通信網路等

牽制控制的起源

在1990 年3位數學物理學家關於用小的反饋擾動控制混沌的開創性工作之後，混沌控制的研究取得了豐碩的成果。對於由大量混沌振子以某種規則拓撲耦合方式連線在一起而構成的時空混沌系統的控制也有不少的研究。其中研究較多的一種控制策略就是牽制控制。

牽制控制的原始基本思想是希望能夠僅對網路中的一部分節點直接施加常數輸入控制而達到有效抑制整個網路的時空混沌行為的目的。早期的工作包括由胡崗等人對由L個節點組成的一維離散時間最近鄰禍合映像格子所做的探索，受控系統的狀態方程為

其中 是相鄰的兩個被牽制控制節點之間的距離； 為被牽制節點的個數；當 時， ，否則 ； 是用來控制所牽制節點的反饋控制器。由於最初考慮的是常數輸入，所以這種控制稱為牽制控制。

牽制控制的理論研究

Parekh等人針對離散時間耦合映像格子使用了牽制控制方法，研究發現，只有對網路中的每個節點都施加牽制控制，才能將耦合映像格子中的時空混沌穩定到平衡狀態。 比較施加牽制控制的節點的不同分布，發現可以通過均勻或隨機分布牽制控制節點來達到全局控制時空混沌的效果。因此，牽制控制的強度和控制器分布的密度都決定了耦合映像格子中時空混沌控制的有效性。Parekh 和Sinha 後來又進一步將耦合映像格子的時空混沌控制拓展到了反控制，即通過牽制控制，使得耦合映像格子由非混沌狀態變為混沌狀態，或者將耦合映像格子中比較弱的混沌進一步增強。牽制控制的思想同樣被用於連續時間系統。

汪小帆和陳關榮最先考慮了如下一類連續時間線性耗散耦合動態網路模型的牽制控制

這裡 為節點 的狀態變數；常數 為網路的耦合強度；對角陣 表示兩個耦合節點之間的具體的連線關係。耦合矩陣 為Laplacian矩陣。假設網路是連通的, 那么耦合矩陣 是一個對稱且不可約矩陣，它有一個重數為1 的零特徵根，而其餘特徵根均為負實數。

李翔、汪小帆和陳關榮接著考慮了如下更為一般的動態網路模型

其中 代表第 個節點和第 個節點直接按的耦合強度；矩陣 定義為如果存在一對 ，則兩個相連的節點是通過它們各自的第 個分量和第 個分量耦合在一起。

可行性問題

陳天平等人進一步的研究更為明確地指出僅對網路中的一個節點施加控制，就可以使得網路達到需要的同步狀態。他們的工作是在內部耦合函式為單位矩陣時得到的。占萌等人研究最近鄰網路中的牽制控制，在只對一個節點施加控制時，得到了在不同的內部禍合函式網路達到同步狀態所需要的參數條件。盧文聯將牽制控制策略開展到自適應動態網路中，除了對少量的節點增加控制器外，網路中的每個節點的狀態的更新只依賴於節點的鄰居狀態。周進等人發現通過對少數節點施加控制使得具有一般拓撲的自適應網路牽制到同步狀態。劉忠信和項林英等人將牽制控制策略推廣到網路的禍合矩陣不能對角化的網路和具有時間延遲的加權網路中。Sorrentinal 等人定義網路牽制控制的可控性與節點之間的耦合強度、控制增益和進行牽制控制的節點數有關。

有效性問題

上面介紹了牽制控制的可行性和穩定性分析。現在已經清楚，只要網路是連通的，那么就可以只對部分節點直接施加控制而使整個網路具有期望的同步狀態。接下來的一個重要問題是有效性問題，即如何選取受控節點才能使得達到控制目標所花的代價儘可能小。這裡的代價包括所需直接控制的節點數量、網路禍合強度和反饋控制增益幅值等。有效性問題與網路的拓撲性質密切相關。已有的研究表明，利用網路的拓撲特性，有選擇地對網路中少量重要的關鍵節點直接施加控制要比隨機選擇部分節點加以控制具有明顯優勢。

無標度網路的特點是少數節點具有相對很高的度而大部分節點的度相對很低。牽制控制一般採用兩種不同的牽制策略，一種是隨機牽制，即在網路中隨機地選擇若干個節點施加牽制控制； 另一種是特定牽制， 即依次選擇網路中度最大的若干節點施加牽制控制。無標度動態網路的特定控制的有效性可以從以下兩個方面來理解：（1）在其它參數都相同的情況下，為達到控制目標，只控制那些度很大的節點所需要控制的節點個數，比隨機牽制所需要控制的節點個數可能要少很多；（2） 如果選取數目相同的節點數加以控制, 那么為達到控制目標，特定牽制策略所需要的最小禍合強度可能比隨機牽制策略所需要的最小耦合強度小很多。

以上介紹的是無向動態網路的牽制控制。對於有向動態網路的牽制控制的研究目前還不多。一種直觀的想法是應該儘可能選取那些出度大的節點因為一個節點的出度越大，也就意味著該節點能夠直接影響的鄰居節點數目越多。但是，正如對於無向網路而言，度最大的節點未必一定是最重要的節點；對有向網路的牽制控制而言，出度最大的節點也未必是最重要的節點。

動態特性分析

在V穩定性架構下，牽制控制可認為是通過改變控制節點耗散度來實現控制目標。陳關榮等通過邏輯比較、層、收縮過程這三個概念對牽制控制網路的動態特性進行了分析。邏輯比較是建立在V穩定性的特徵矩陣上，用來表明兩個網路，即使具有不同的尺寸，哪個更容易被鎮定。層是這樣一個節點集合，其元素離控制節點具有相同距離。可以直觀地認為，控制力是一層層的從控制節點傳播至整個網路。收縮過程包含了節點收縮和邊收縮兩個過程具有收縮後網路比原先網路更難被鎮定的特點。對於具有相同節點自動態和一致耦合強度的複雜網路，控制哪些使得第二層的輸入連線度最大的節點是較好的選擇。通過這些概念，可用一個層疊模型來估計被控制的複雜網路的V穩定性，其中節點表示網路的層，耦合強度為層的輸入連線度。如果初始網路是V穩定的，那么對應的層疊模型也是V穩定的。