愛丁頓在1929年闡述過一個“無限猴子理論”，就是說“如果許多猴子任意敲打打字機鍵，最終可能會寫出大英博物館所有的書”。
書可以看作是字母的組合，大英博物館所有的書作為有限集是包含在字母的組合這個無限集之中的。有限集在無限集中出現的機率不為零，這也是你說“機率肯定不為零”的原因。問題就在於“字母的組合”和“許多猴子任意敲打打字機鍵”兩個無限集是否等價。
如果這些猴子都打出的是同樣而且重複的東西，能打出現大英博物館所有的書嗎？如果說沒有條件可以保證猴子都打出的是同樣而且重複的東西，那么有條件可以保證猴子打出東西的不是同樣而且不重複嗎？
基本介紹
- 中文名：無限猴子理論
- 提出時間：1929年
- 提出者：愛丁頓
- 理論對象：猴子，大英博物館圖書
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出處
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fnhjhu | oefoijeoi | m,vijaun |
majij | ,kdoiioifg9 | , iueuyeui |
證明
直接證明
兩個獨立事件同時發生的機率等於其中每個事件單獨發生的機率的乘積。比如，在某一天悉尼下雨的可能性為0.3，同時舊金山地震的可能性是0.008（這兩個事件可以視為相互獨立的），那么它們同時發生的機率是 0.3 × 0.008 = 0.0024。
假設一個打字機有50個鍵，想要打出的字是“banana”。隨機的打字時，打出第一個字母“b”的機率是 1/50，打出第二個字母“a”的機率也是 1/50 ，因為事件是獨立的，所以一開始就打出單詞“banana”的機率是：
(1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) × (1/50) = (1/50)6, 這個機率小於150億分之1。 同理，接下來繼續打出“banana”的機率也是(1/50)6。
所以，在給定的六個字母沒有打出“banana”的機率是1 − (1/50)6。因為每一段（6個字母）文字都是獨立的，連續n段都沒有打出“banana”的機率Xn是：
隨著n變大，Xn在變小。當n等於100萬時，Xn大約是0.9999（沒有打出“banana”的機率是99.99%）；但是當n等於100億時Xn大約是0.53（沒有打出“banana”的機率是53%）；當n等於1000億時Xn大約是0.0017（沒有打出“banana”機率是0.17%）;當n趨於無窮時Xn趨於零。這就是說，只要使n足夠大，Xn可以變得足夠小。
同樣的論證也可以說明在無限多的猴子中有至少一個會打出一段特定的文章。這裡Xn = (1 − (1/50)6)n，其中Xn表示在前n個猴子中沒有一個一次打出banana的機率。當我們有1000億隻猴子時，這個機率降低到0.17%，並且隨著猴子數量n趨於無窮大，沒有打出“banana”的機率Xn趨於0。
但是，在只有有限的時間和有限只猴子時，結論就大不一樣了。如果我們的猴子數量和可觀測宇宙中的基本粒子數量一樣多，大約10^80隻，每秒鐘打1000個字，持續打100倍於宇宙的生命長度的時間（大約10^20秒）有猴子能夠打出一本很薄的書的機率也接近與0。見下文：機率。
無限長的字元串
以上兩種情況可以擴展到所有的字元串：
給定一個無限長的字元串，其中的每一個字元都是隨機產生的，那么任意有限的字元串都會作為一個子字元串出現在其中（事實上要出現無限多次）。 給定一個序列，其中有無限多個無限長的字元串，其中每一個字元串中的每一個字元都是隨機產生的，那么任意有限的字元串都會出現在其中某些字元串的開頭（事實上是無限多個字元串的開頭）. 對於第二個定理，設Ek某給定字元串出現在第k個字元串開頭的事件。有固定的且不為零的機率p是這個事件發生，而且Ek是獨立的，所以：
事件Ek發生無窮多次的機率是1。第一個定理可以類似地處理，先將無限長的字元串分割，使得每一段的長度和給定字元串相同，然後設Ek是第k段等於給定字元串的事件。
機率
不算標點符號、空格、大小寫，一個猴子隨機打字打出的第一個字母和哈姆雷特中相同的機率是26分之一，前兩個字母相同的機率是676分之一（即26乘26分之一）。因為機率發生了指數爆炸，前20個字母相同的機率是26的負20次方!(約為5.02*10的-29次方而打出的字和哈姆雷特中的全部文本相同的機率降低到超出人們的想像。整部哈姆雷特大約有130,000個字母。雖然有3.4×10183,946分之一的機率一遍就正確地打出所有文本，在打出正確的文字之前平均需要輸入的字母數量也要3.4×10183,946，或者包括標點符號，4.4×10360,783。
即使可觀測宇宙中充滿了猴子一直不停地打字，能夠打出一部哈姆雷特的機率仍然少於10183,800分之一。
