無理數引論

內容介紹

《無理數引論》內容簡介：自從1978年R.Apéry證明了ζ（3）的無理性以來，ζ函式在奇數上的值的無理性研究一直是引人注目的數論課題。《無理數引論》給出與此有關的一些基本結果（如ζ（3）的無理性的Apéry原證和Beukers的證明等）以及近些年來T.Rivoal和V.V.Zudilin等人的新進展（如ζ（2k+1）（k≥1）中有無窮多個無理數；ζ（5），ζ（7），ζ（9），ζ（11）中至少有一個無理數；等等）；此外，還給出無理數理論的一些經典結果和方法，如無理數的意義和分類、無理性的刻畫及度量、無理數的有理逼近和連分數展開、數的無理性證明的初等方法、無理數的構造、無理數的正規性等；特別著重於數的無理性的判別法則和一些特殊類型的無理數（如Erdos的無理性級數、Mahler小數、Champernowne數、Fibonacii數、Lucas數及Fermat數的倒數的級數等）。

本書可供大學數學系高年級本科生和研究生以及專業研究人員使用或參考.

各章內容如下：
第1章具有基礎性質，給出無理數的三種定性刻畫，較細緻地討論了無理數的定量刻畫，即無理性指數.第2章給出證明一個實數是無理數的常見的初等方法，包含了數量較多的各種類型的例子.這兩章在取材上考慮到面向一般讀者.其後三章是互相獨立的.其中第3章、第4章是本書的核心，取材上具有一定專業性.第3章的主題是ζ(3)的無理性及其新進展.我們完整地給出R. Apéry關於ζ(3)的無理性的原始證明，以及F. Beukers的一個簡潔證明，還介紹了現有的其他幾個證明.對於T. Rivoal和V. V. Zudilin等人近些年來取得的新進展，我們著重證明ζ函式在奇數上的值中有無窮多個無理數這個重要結果，並給出ζ(5)，ζ(7)，ζ(9)，ζ(11)中至少有一個無理數的證明概要.我們還詳細地證明了Yu. V. Nesterenko的線性無關性判別法則，這個法則不僅是T. Rivoal及V. V. Zudilin的證明的關鍵性工具，而且它也可用於其他一些問題的研究.第4章主要論述P. Erds型的無理性判別法則，研究了幾種類型的無窮級數的和以及K. Mahler的無窮小數的無理性.最後一章是關於正規數的簡明引論，重點討論了正規數的某些構造方法；本章的討論儘量採用初等方法.每章最後一節是對正文的引申或補充，有的也包含若干研究問題.書末還有一個介紹超越數論的附錄，供不了解超越數論的讀者參考.
閱讀本書所需的數學預備知識主要限於大學理工科的數學分析和線性代數.當然，初等數論的基本知識(如算術基本定理、同餘概念等)也是必需的.個別定理的證明用到複分析和測度論的初步知識，“補充與評註”則涉及更多的較專門的數學知識.雖然本書主要結果取自原始論文，但為了便於初學者閱讀，這裡注意補出有關細節，或者儘量化解某些論文中的艱澀甚至錯誤之處，個別定理(引理)的證明實際上是按照原文思路重寫的.因此，本書可作為大學有關專業高年級及研究生低年級學生的討論班材料，也可供具有必要數學預備知識的一般讀者自學.作為閱讀建議，大體上，本書前兩章可以根據實際情況有選擇地閱讀;讀完後三章(不計最後一節)後，可以考慮參照“補充與評註”的提示並結合個人的興趣進而鑽研某些原始論文.

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