準序拓撲向量空間中的變分原理和向量最佳化

《準序拓撲向量空間中的變分原理和向量最佳化》是依託蘇州大學，由丘京輝擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：準序拓撲向量空間中的變分原理和向量最佳化
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：丘京輝
• 依託單位：蘇州大學

項目摘要

本項目研究準序拓撲向量空間中的 Ekeland變分原理和向量最佳化。自從 Ekeland 在1972年給出著名的變分原理（簡記為 EVP）以來，其各種形式的推廣不斷湧現。歷經40餘年，EVP 已成為非線性分析中最重要的結果之一。由於其廣泛套用，向量型和集值型的 EVPs 引起了許多學者的興趣。我們試圖將 p-距離和q-距離開拓到向量值，從而建立一個一般形式的向量型EVP，它可以統一已有的各種形式的向量型EVPs。更進一步，我們擬給出一個非常一般的準序原理，由此可推出所有已知的集值型EVPs 及其改進。我們還將研究目標函式定義於模糊度量空間和機率度量空間上的向量型和集值型 EVPs。套用拓撲向量空間的拓撲結構、幾何性質和對偶理論，我們將研究有效點的存在性和可控性；進而給出向量最佳化真有效點（解）的標量化定理、稠密性定理、Lagrange乘數定理和鞍點定理。

結題摘要

Ekeland 變分原理是非線性分析中最重要的結果之一。由於它的廣泛套用，其各種形式的推廣不斷出現。按研究目標，我們主要研究目標映射取值於準序拓撲向量空間的Ekeland 變分原理。我們在向量型 Ekeland 變分原理， 集值型 Ekeland 變分原理，擾動包含集合的 Ekeland 變分原理，擾動包含廣義距離的 Ekeland變分原理，均衡形式的 Ekeland 變分原理，模糊距離空間上的 Ekeland 變分原理，擬距離空間上的 Ekeland 變分原理等諸多方面取得一系列成果。這些成果有的改進了已有的結果，有的開拓了變分原理的框架和套用範圍。特別地，引入了廣義 Gerstewitz 函式，利用它, 我們獲得了 Nemeth 意義的 $\epsilon$-有效解的向量型 Ekeland 變分原理，它完全去掉了已有結果中關於目標函式值域的有界性的通常假設，從而本質上改進了已有結果。我們還建立了一種改進的準序原理，它不但蘊涵了我們已知的絕大多數僅涉及通常距離的集值型變分原理，還可導出擾動項包含集合和各類廣義距離的 Ekeland 變分原理。我們進一步研究了 Ekeland 變分原理在均衡問題、向量最佳化、行為科學和行為動力系統的套用。關於局部 p-凸空間，我們給出了該類空間的拓撲構造和對偶表示。關於不動點理論，給出了目前國際上常用幾種定理的真改進和推廣。特別地，建立了統一當今幾種不動點定理的新形式。解決了國際上提出的一些關於不動點理論的公開問題。