《測量值相關的稀疏信號可重構條件研究》是依託西安交通大學，由李海洋擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：測量值相關的稀疏信號可重構條件研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李海洋
- 依託單位：西安交通大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
稀疏信號重構是壓縮感知理論中的核心問題。現有的稀疏信號可重構的條件研究主要是基於測量矩陣的性質（包括矩陣的Spark、相干性和Babel 函式，以及矩陣的k-約束等距常數等），而沒有考慮到測量值的作用，因此得到的稀疏信號可重構條件過於保守，過於剛性；現有的重構算法也大多是基於最佳化1-範數而發展起來的，因而存在數據的大量冗餘難以去除、稀疏係數尺度的位置難以區分等不足。所以，建立與測量值相關的稀疏信號可重構的條件和發展新的重構算法具有重要的理論意義和套用價值。本項目擬在研究測量值與測量矩陣組成的增廣矩陣的特性以及向量的最小線性表示理論的基礎上，對與測量值相關的稀疏信號可重構的本質特徵和0-範數最佳化問題的新重構算法進行深入研究，旨在為稀疏信號重構問題的研究探索出一種新的理論和方法。
結題摘要
稀疏信號重構是壓縮感知理論中的核心問題。現有的稀疏信號可重構的條件研究主要是基於測量矩陣的性質，沒有考慮到測量值的影響，因而得到的稀疏信號可重構條件過於保守，過於剛性；現有的重構算法也大多是基於最佳化1-範數而發展起來的，因而存在諸多不足。因此，本項目主要研究測量值相關的稀疏信號可重構的本質特徵和發展針對 0-範數最佳化問題的數學理論與方法，旨在為稀疏信號重構問題的研究探索出一種新的理論和方法。本項目的主要研究內容有：（1） p-範數最佳化問題的理論和算法研究。證明了存在常數p(A,b)和q(A,b)，使得當 p＜ q(A,b) 時，p-範數最佳化問題的最優解隨著p的減小而變得更加稀疏，以及當 p＜ p(A,b) 時， p-範數最佳化問題和0-範數最佳化問題等價；（2）0-範數最佳化問題的理論和算法研究。首先，證明了在與測量矩陣A和測量值b相關的某種條件下，指數函式e^(-q|x|)以及分式函式a|x|/1+a|x|的最小化問題與 0-範數最佳化問題等價，並構造了求解它們的算法。其次，先構造帶有參數的收縮運算元，再證明該收縮運算元是某個非凸函式的鄰近運算元，然後用該非凸函式作為0-範數的鬆弛函式，並設計了對應的疊代閾值算法。（3）可重構稀疏信號的測量矩陣的性質研究。研究了測量矩陣的預處理對於高斯測量矩陣和伯努利測量矩陣的互不相干性和RIP造成的影響，以及提升OMP算法支撐恢復率的作用。（4）稀疏凸最佳化模型的理論和算法研究。用約束集有關的指示函式的Moreau包絡去近似代替該指示函式，提出了新的針對在噪音測量下的無約束稀疏模型，並分析了新的近似模型的目標函式值收斂到原始目標函式值的收斂速率問題等。另外，對於多塊約束的結構凸最佳化模型研究，提出了廣義臨近點算法框架。在此框架下意義下，增廣拉格朗日方法和交替乘子方法是其兩個特例。進一步，通過設計新的快速下降方法，可以有效解決多塊約束的結構凸最佳化問題。
