消失動量（Vanishing Moments），在連續小波變換（Continuous Wavelet Transform），是一項非常重要的參數，用來檢視母小波（Mother wavelet）是否為高頻的函式。
基本介紹
- 中文名：消失動量
- 外文名：lost momentum
由來,定義,計算消失動量,常用函式,對於函式意義,等價敘述,
消失動量(Vanishing Moments)，在連續小波變換(Continuous Wavelet Transform)，是一項非常重要的參數，用來檢視母小波(Mother wavelet)是否為高頻的函式。
由來
在連續小波變換中，母小波有4個主要限制如下。
1. 有值區間必須是有限的(Compact Support)：
母小波不能是一個無限長的函式。
2. 必須是實函式(Real)：
因為要處理的影像不會是複數信號，且為了方便計算。
3. 偶對稱(Even Symmetric)或是奇對稱(Odd Symmetric)
4. 消失動量越高越好：
這項是最難滿足的一項。
定義
首先定義第
個動量
:
若
，
則我們說
有
個消失動量。
計算消失動量
我們可以看到 不太好計算，尤其是 很大的時候。
此時，可以善用傅立葉轉換來進行計算。
計算第0個動量
首先，觀察傅立葉轉換的公式:
當令
時，可以看到以上公式變成:
正是第0個動量
。
因此，若要計算
的第0個動量，可以先計算 的傅立葉轉換，再取直流項(也就是
。
計算第k個動量
我們可以同樣利用傅立葉轉換來計算第 個動量。
首先，傅立葉轉換有一個性質: 在頻域微分 次，就相當於時域乘上
:
當令 時，可以看到以上公式變成:
正是第 個動量
。
因此，若要計算 的第k個動量，可以先計算 的傅立葉轉換的k次微分，再取直流項也就是 。
常用函式
連續函式
哈爾小波轉換是最簡單的一種小波轉換，使用哈爾基底(Haar Basis)來做母小波。
而墨西哥帽函式(Mexican hat function)也常被用來當母小波。
哈爾基底
哈爾基底的數學表示式如下:
但
是偶函式，所以
因此，哈爾基底的消失動量為1。
墨西哥帽函式
墨西哥帽函式的數學表示式:
仔細觀察， 其實是高斯函式的二次微分:
而高斯函式做傅立葉轉換仍是高斯函式:
利用
可以算出
所以墨西哥帽函式的消失動量為2。
高斯函式的p次微分
墨西哥帽函式是高斯函式的二次微分，所以消失動量為2。
當
其傅立葉轉換為
利用
可以算出
所以高斯函式p次微分的消失動量為p。
連續函式的離散係數
多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 都是一些常用的離散小波，而且都是由連續小波的離散係數推導而來。
多貝西小波
點的多貝西小波，消失動量
點的Symlet，消失動量
Symlet和多貝西小波非常類似，但是比多貝西小波還要對稱。
對於函式意義
消失動量是用以判斷一個函式如何遞減的指標。舉例來說，對於函式
當輸入值
逐漸往無限大增加時，此函式會以
的速率遞減。 我們可用利用定義中的動量積分式
來評估此函式的遞減速率。
回到此範例中的函式，當
時，由於分子
會在
之間震盪，使得整個函式在
震盪。
此性質使得 時，
函式積分式必定會收斂於0，代表第0個動量
當
時，
因此第1個動量
對於
的情況，動量積分式均會隨著
而發散。
由以上的範例，我們可藉由能夠讓動量積分式收斂為0的最大 值來判斷函式的遞減速率，而此最大{\displaystyle k}值便是函式的消失動量。
在連續小波轉換中，設計母小波的其中一個條件是有值區間比須是有限的，而母小波在有值區間內如何遞減的特性，則可由消失動量來描述。
等價敘述
依照定義，小波母函式 有 個消失動量的條件為
然而由於此定義中包含了一個無限範圍的連續積分，因此在設計小波母函式上並不實用。
若定義小波轉換中的尺度函式為
，當以下小波母函式和尺度函式的關係成立時，
下列四項敘述便是等價的：
1. 小波母函式 有 個消失動量。
2.
的傅立葉轉換，以及前
次微分在
處均為零。
3.
的傅立葉轉換，以及前 次微分在 處均為零。
4. 對於
區間內的任意 值
- 是最高次方為{\displaystyle k}的多項式函式。
