流體動力學中的主動標量與自相似奇性的研究

《流體動力學中的主動標量與自相似奇性的研究》是依託北京師範大學，由薛留堂擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：流體動力學中的主動標量與自相似奇性的研究
• 依託單位：北京師範大學
• 項目負責人：薛留堂
• 項目類別：青年科學基金項目

項目摘要

本項目主要研究流體動力學中的主動標量和自相似奇性：主動標量是流體動力學的重要研究對象，具有簡單的形式和鮮明的物理背景，這裡考慮的主動標量方程主要包括二維準地轉方程、二維 Boussinesq 方程、推廣的 CCF 方程等；而自相似奇性是偏微分方程的重要爆破類型。我們將利用調和分析等現代分析方法，圍繞如下三方面內容來展開研究：（1）關於某些特殊的大初值，對一些帶有超臨界耗散的主動標量方程和三維 Navier-Stokes 方程研究解的整體正則性問題。（2）對一些一維主動標量方程研究解的有限時刻爆破問題，並探討自相似爆破機制。（3）對三維 Navier-Stokes/Euler 方程和一些主動標量方程研究可能的自相似解，並排除一些爆破情形。我們期望通過本項目的實施，能夠加深對主動標量和自相似奇性的認識，並且在某種程度上提升對 Navier-Stokes/Euler 方程的千禧年征題的理解。

結題摘要

本項目主要研究流體動力學中的主動標量和自相似奇性：主動標量是流體動力學的重要研究對象，具有簡單的形式和鮮明的物理背景，這裡考慮的主動標量方程主要包括二維準地轉方程、二維 Boussinesq 方程等；而自相似奇性是偏微分方程的重要爆破類型。我們本項目的主要結果如下（1）整體正則性方面：得到了推廣的二維準地轉方程與Boussinesq方程在一些臨界與稍微超臨界情形解的整體正則性，並建立了在超臨界情形整體弱解的最終正則性；同時證明了密度依賴的三維Navier-Stokes方程關於二維Navier-Stokes方程的整體穩定性。（2）有限時刻爆破奇性方面：探討了帶有色散項的一維Burgers型方程光滑解的有限時刻爆破奇性。（3）自相似奇性方面：研究了三維 Navier-Stokes/Euler 方程和二維準地轉方程可能的自相似奇性解，並排除一些自相似奇性情形。通過本項目的實施，我們在一定程度上加深了對主動標量和自相似奇性的認識, 對進一步的深入研究奠定了良好基礎。