托勒密（Ptolemy)定理指出，圓內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。
基本介紹
- 中文名：波羅蜜定理
- 外文名：Ptolemy
- 解釋：對邊乘積的和等於兩條對角線乘積
- 推廣及證明： 托勒密不等式
- 創建者：托勒密
論證,推廣及證明,
論證
托勒密定理的推論：任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，若且唯若ABCD四點共圓時取等號。
證明如下：在四邊形ABCD中,連線AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD
則三角形ABE和三角形ACD相似
所以 BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD (1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而角BAC=角DAE
所以三角形ABC和三角形AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB*CE+AD*BC
又因為BE+ED>=BD
所以命題得證
托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接於一圓
推廣及證明
* 托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小於另外一組對邊的乘積，取等號若且唯若共圓或共線。
o 簡單的證明：複數恆等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模，得不等式，分析等號成立的條件。
o 四點不限於同一平面。
