波爾約的父親對歐氏平行公設問題探討了大半輩子而徒勞無益。1820年，在大學就讀的波爾約繼承了父親對平行公設的研究。開始，他也是從正面入手，試圖用歐氏其他公設來證明平行公設，結果失敗了。其父堅決反對兒子墮入在他看來是前途渺茫的深淵，1820年寫信責令兒子必須停止這項研究，信中說：“它將剝奪你所有閒暇、健康、思維的平衡及你一生所有的快樂。這個無底的黑暗或許可以吞吃掉一千個燈塔式的牛頓，這個夜任何時候也不會在大地上光明。”但波爾約並未被如此駭人聽聞的言詞所嚇倒，他一方面深入了解和分析前人的研究過程；另方面又對自己所作研究進行認真的反思。他在與A．脫萊坎（Teleki）伯爵的管家K．悉阿斯（Siasr）的交談中得到啟發，開始用歸謬法證明，即從反面來考慮命題，看否定平行公設能否引出與歐氏幾何的其他公設或公理相悖的結果。在他不遺餘力的嚴密推理下，不但沒有發現任何矛盾，反而推出一系列全新的無矛盾的結論，為此，他斷言第五公設是一條獨立的公設，若能找到替代此公設的“平行公設”，便可以構成一門獨立的新幾何。這一別開生面的思想，使他獨闢蹊徑，構造了“新幾何學”，他把它稱為絕對幾何，後人稱為“虛幾何”“雙曲幾何”或“羅巴切夫斯基幾何”，這是一種非歐幾何。經過幾年的艱苦努力，他於1823年寫成了著名論文《空間的絕對幾何學》（Appendix explaining the absolutely true Sácnce of space），時年21歲。11月3日，他興奮地給父親發出信函：“我決定出版自己關於平行線的著作，……我已從烏有創造了另一個全新的世界”，他把手稿寄給父親，請求父親幫助出版，其父不相信這么年輕的兒子會有什麼成就，更看不到衝破傳統觀念的束縛對科學發展和造就人才的意義，對兒子研究成果的反映非常冷淡，拒絕協助出版。1825年2月波爾約回家探親，特地把含有絕對空間理論的這一文稿當面送給父親看，其父為新幾何中依賴於一個任意常數而迷茫，仍不能接受這種幾何學。1826年，他把論文的德文抄稿寄給母校的數學老師，請求評審和支持，不幸抄稿遺失了。
在波爾約表現出非凡的數學天才之際，其父也於1829年完成了他的《寫給好學青年的數學原理》二卷，含三個附錄。1831年，經波爾約再三請求，其父才勉強同意將他的論文作為該書的《附錄》之一出版，這篇被壓縮到24頁的論文，是波爾約一生中發表的唯一成果。1831年6月20日其父寫信給高斯，並將兒子《附錄》樣稿寄給他，想聽聽他的意見，但高斯沒有回信，1832年1月16日又給高斯去信，高斯在3月6日的覆信中寫道：“關於你兒子的工作，當我一開始便說我不能稱讚他時，你一定會感到震驚……因為稱讚他便等於稱讚我自己，文章所有內容，你兒子採取的思路、方法以及所達結果，和我在30至35年前已開始的一部分工作完全相同，我真是被這些結果嚇住了，……但我本來就是不願發表的，……”信中雖誇獎波爾約是“頭等品質的天才”，信的結尾還有註記，其中包括讓波爾約確定如何在他的幾何里求四面體的體積，但波爾約還是感到心情沉重，他不相信別人比他更早達到同一結果，認定高斯在這個發現上要奪優先權，儘管他後來相信高斯所講是真話，仍認為高斯沒有公開自己的發現是一個錯誤。由於高斯的那封回信，更由於文章歷盡艱辛而出版後卻沒有引起多少反應，當羅巴切夫斯基獨立研究的同樣成果發表後，他甚至變得惱怒，以致有一段時間陷於失望而影響了數學工作。1837年，父子兩人克服種種困難，參加了由萊比錫加勃羅諾協會（The Jablonow Societyin Leipzig）贊助的關於“虛量的嚴格幾何構造”（The rigorousgeometric construction of imaginary quantities）問題有獎征解數學競賽，以重振他倆在數學界的威望，但二人的解答因太複雜而落選。後來，波爾約研究過絕對空間中四面體的體積，並在1856年寫成一個註記。
