法雷級數

法雷級數，是指每一行從0/1開始，以1/1結尾，其它數自左至右將所有的真分數按增加順序排列；第n行是由所有分母小於或等於n的真分數組成，我們稱為n階法雷級數。

基本介紹

• 中文名：法雷級數
• 外文名：Farley number column
• 名詞類型：定義概念
• 名詞領域：數學
• 書籍：《數學中的智巧》
• 別名：法里數列、法里級數

法雷級數定義

1、定義

R.亨斯貝爾格著李忠翻譯的《數學中的智巧》一書，介紹了法雷級數。

如下表：

F1：0/1 1/1

F2：0/1 1/2 1/1

F3：0/1 1/3 1/2 2/3 1/1

F4：0/1 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1/1

F5：0/1 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1/1

F6：0/1 1/6 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 5/6 1/1

…… ………………………………

2、第n行Fn的真分數的個數有多少個

我們設Fn的個數為ψ(n), ψ(n)比 ψ(n-1)增加的個數是分母是n，分子比n小且與n互質的數的個數，這正是歐拉函式φ（n）。即

ψ(n)=ψ(n-1)+ φ（n）.

ψ（1）=1+φ（1）.

ψ（2）=ψ（1）+φ（2）.

ψ（3）=ψ（2）+φ（3）.

………………

ψ(n)= ψ(n-1)+ φ（n）.

所以 ψ(n)=1+φ（1）+φ（2）+φ（3）+……+φ（n）很容易證明，當n≥3時，歐拉函式φ（n）是個偶數。由此我們得到除ψ（1）=2是偶數外，法雷級數其它各級的個數都是奇數，並且許多是素數。ψ（1）=2，ψ（2）=3，ψ（3）=5，ψ（4）=7，ψ（5）=11，ψ（6）=13，ψ（7）=19，ψ（8）=23，ψ（9）=29，……。

數列長度

n階的法里數列 包含了較低階的法里數列的全部項，特別是它包含 的全部項，和與n互質的每個數的相應分數。所以 包含了 和分數1⁄₆及5⁄₆。對大於1的n，其法里數列的中間項必定是1⁄₂。

從上， 和 的長度的關係，可以用歐拉函式描述：

。

從 這項資料，可以推導出 的長度公式：

。

的漸近行為是：

。

性質

法雷級數Fn具有很多美妙的性質，下面是一些常見的性質：

1.如果a/b,c/d是相鄰的兩項，則abs（a*d-b*c）=1。

2.如果a/b,c/d,e/f是相鄰的三項，則 (a+e)/(b+f)=c/d，特別的，如果c/d是新添加的，即c/d不屬於F（n-1），則c=a+e；d=b+f。

關於Farey級數的介紹。根據這條性質可以知道，叢F（n−1）到F（n）的構造過程中，F（n）的新項的分母一定是其相領兩項的分母和。另一方面，如果F（n−1）中的相鄰兩項 a/b,c/d, b+d=n,則(a+c)/n一定會被添加到F（n）中。

福特圓

法里數列和福特圓之間有個有趣關連。

對每個最簡分數p⁄_q，有福特圓C[p⁄_q]，以為半徑，以 為圓心。兩個不同分數的福特圓一是分開，一是相切，但不會相交。若0<p ⁄_q<1，則與相切的福特圓正好是在某一法里數列中與p⁄_q為鄰項的分數。

例如C[2⁄₅]與C[1⁄₂]，C[1⁄₃]，C[3⁄₇]，C[3⁄₈]等相切。

F1--F8的福特圓圖像如圖1：

圖1 福特圖像