法諾擬陣

基本介紹

法諾擬陣即二元擬陣F₇，僅含有7個元素，其表示矩陣為

而其在投影平面上的圖像中，三個點位於同一條直線或同一條曲線上時，此三點構成F₇的相關集；否則為基。F₇不是單模擬陣，因此，以F₇為其子擬陣的擬陣也不是單模擬陣。

引理1若擬陣M為正則的，則對於任何一個基礎，其基本矩陣是全單模的。

一個二分的(但非正則的)擬陣的最簡單的例子，就是Fano擬陣。

Fano擬陣其基礎集由7個元素組成，記為

，圈的集合為

其中X_ijk={e_t|1≤t≤7，t≠i，j和k}，1≤i<j<k≤7。

上述Fano擬陣的非正則性，可以按如下方式證明：因為容易驗證

為它的一個基礎。這時，它的三個基本圈為

，其基本矩陣為

其中x_ij=±1，i≠j，1≤i，j≤4。假若此矩陣是全單模的，由於下面4個子陣的行列式

必須為偶數。從全單模性，又使得如下的方程．對於所有未知量，非1則-1，有解：

然而，這些方程將導致

因此，Fano擬陣不可能是全單模的，由引理1可知Fano擬陣是非正則的。

引理2 若一個擬陣M是正則的，則Fano擬陣和它的對偶均非M的次形。

引理3 若二分擬陣M是正則的，則它的基本矩陣在GF(2)上是X脫化的。

引理4 對於一個二分擬陣M，下面的說法是相互等價的：

(1) M在任何城上均為可表示的；

(2) M是可定向的；

(3) M是全單模的；

(4) M沒有次形與Fano擬陣或其對偶擬陣同構；

(5) M是X脫化的。