《求解Duffing方程的最最佳化方法》是依託長春工業大學，由張珊擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：求解Duffing方程的最最佳化方法
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：張珊
- 依託單位：長春工業大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
非線性微分方程因其涉及的領域廣泛而倍受人們關注,而對於微分方程周期解的研究,也正逐步成為人們的研究熱點之一。不僅因為微分方程周期解問題表征了一些周期性運動,同時它也可以近似的刻畫一些非周期運動。目前在對各種微分方程周期解的研究中,Duffing方程周期解的問題也引起了國內外眾多學者的關注。本項目基於最佳化方法與微分方程求解相結合的思想,主要研究Duffing方程周期解在非共振條件下的存在唯一性,將求解微分方程周期解問題轉化為求解無約束最佳化問題,再套用求解無約束最佳化問題的內點法來求解相應的Duffing方程的周期解,並通過數值算例來驗證該方法的可行性和適用性。
結題摘要
微分方程作為現代數學的一個重要分支，在科學研究領域有著非常廣泛的套用。而微分方程理論的主要任務就是求解和確定解的各種屬性. 在對各種微分方程周期解的研究中, Duffing方程周期解的問題正成為人們的研究熱點。隨著人們對Duffing方程周期解存在唯一性的不斷深入研究, 求解這類問題的方法也越來越多元化，其中包括最優控制理論, 非線性泛函分析, 同倫算法等等。而將最佳化方法與求周期解問題相結合則是一個新的研究方向，並已成為人們廣泛關注的研究課題。其中一個比較典型的結果是:2009年，馮子玹等人通過使用擬牛頓法得到了Duffing方程和Lienard型方程的周期解，利用周期解與無約束最佳化問題之間的轉化，說明用最佳化方法尋找周期解的可行性，進而利用求解最佳化問題的擬牛頓法來找到微分方程的周期解， 也正是由於該方法的初次成功, 使得項目組根據本項目立項的基本要求和目標, 對這個方向加以研究和推廣。在項目研究的前期, 主要進行的是查閱大量國內外最新的相關文獻資料, 並得到最新的研究進展, 然後在每周一次的討論班中進行學習與討論, 從而掌握了最新的理論依據. 在項目研究的中期, 主要研究了各種微分方程周期解的問題,特別針對本項目的研究目標研究了Duffing方程周期解在非共振條件下的存在唯一性,通過將最佳化方法與微分方程求解相結合的思路, 嘗試了將求解微分方程周期解問題轉化為無約束最佳化問題, 並利用最佳化方法特別是其中的內點法和Levenberg-Marquardt方法來得到微分方程的周期解. 與些同時我們還研究了路徑跟蹤算法中的組契約倫內點法, 對廣義法錐條件進行了分析和改進,也嘗試著將其運用到求解Duffing方程周期解的問題中.在項目研究的後期, 力求將所研究的新方法推廣到Lienard型方程和高階微分方程周期解的求解問題中. 在我們的研究過程中, 能夠成功地把求解微分方程周期解問題轉化為無約束最佳化問題, 通過最佳化方法中的內點法和Levenberg-Marquardt方法得到了微分方程的周期解, 這為以後高階微分方程周期解的研究起到了推動的作用.
