基本介紹
- 中文名：正則模態分析
- 外文名：Regular modal analysis
- 分類：工程力學
等效勢能的蛋白質分子結構正則模態分析,求解不可壓方程的三階精度投影方法,投影方法的提出,正則模態分析投影格式精度,三階精度和格式穩定性的影響,
等效勢能的蛋白質分子結構正則模態分析
蛋白質分子依靠在生理環境中不斷運動實現生物功能。具有穩定結構的蛋白質分子通常被認為在勢能函式最穩定點附近做簡諧振動，因此鏈狀分子的複雜運動可以用正則模態分析的方法描述。在20世紀80年代，正則模態分析方法開始被用於蛋白質結構動力學研究，蛋白質結構的運動可以表示為不同振動模式疊加，以此描述最低能量狀態附近的簡諧運動。超過3800種蛋白質結構動力學研究表明，其中半數以上可以由兩個或更少的低頻振動模式疊加代表。
普通正則模態分析方法將胺基酸殘基看作完全相同的質點，殘基之間存在剛度相同的彈性作用力。然而20種天然胺基酸具有不同的疏水、靜電等物理屬性，殘基之間的相互作用力應該與對應的胺基酸類型緊密相關。長期以來，人們發現胺基酸殘基在蛋白質結構中的分布具有一定偏好，有些胺基酸往往被隱藏在內部，有些胺基酸則常常配對出現。在殘基相互作用趨勢基礎上，派生出了胺基酸之間的等效勢能函式。提出了基於等效勢能的作用力模型，在不同殘基之間引人了與胺基酸種類相關的作用勢能。同時，將原子看作球體模型，通過原子間距離判斷準則確立胺基酸接觸關係。由此建立的蛋白質分子彈性網路模型包含了更為真實的胺基酸相互作用，對分子結構的正則模態分析更趨精確。
求解不可壓方程的三階精度投影方法
在數值模擬不可壓縮流動中，投影方法得到了越來越廣泛的套用，一般認為，投影方法在時間方向上僅僅停留在二階精度。通過分析發現，壓力更新公式在高階投影方法的構造中具有非常重要的作用，它不僅影響壓力的精度，同時還影響格式的穩定性。在此基礎上結合相容的壓力更新公式，提出了三階精度的投影方法。正則模態分析的結果表明，提出的投影方法速度具有三階精度。當採用相容的壓力更新公式時，壓力也具有三階精度，而且格式是穩定的；而採用傳統壓力更新公式，壓力在邊界附近只有二階精度，且格式不穩定。數值結果驗證了上述結論。
投影方法的提出
在求解原始變數形式的、非定常不可壓Navier-Stokes( N-S)方程的數值方法中，投影方法憑其計算高效的優勢越來越受到重視。投影方法最早由Chorin提出，他注意到：在不可壓縮流動中，壓力沒有任 何的熱動力學上的意義，僅僅作為一 個Lagrange乘子來保證不可壓條件(連續方程)得到滿足。以此為基礎，他提出了一種將速度和壓力解耦求解的數值方法，稱為投影方法或分數步方法。這個方法是一種預測-校正的兩步格式：第1步，不考慮不可壓條件，在一個估計的壓力下求解動量方程得到所謂中間速度場，第2步，將中間速度場進行Helmholtz-Hodge分解，這個過程稱為速度場的“投影”，由此可以得到滿足連續方程的速度場，並對壓力場進行修正。Chorin的方法在時間方向只有一階精度。近20年來，為了計算非定常不可壓縮流動，出現了一系列的二階時間精度的投影方法。
Shen曾認為任何高於二階精度的投影方法都將是無條件不穩定的。發現他的結論與特定的壓力更新公式緊密相關，當採用合適的壓力更新公式後，三階精度的投影方法是有可能穩定的。基於這一分析，提出了一種時間方向具有三階精度的投影方法。
正則模態分析投影格式精度
考慮到對流項通常顯式處理，因此略去N-S方程中的對流項，只研究Stokes方程，同時將計算域簡化成一個x方向為半無限長，y方向為長度為2π，且滿足周期性條件的區域：Ω=[0，∞]×[-π，π]。在x=0處，邊界條件為：
u(0，y，t)=a，v(0，y，t)=β。
由於只分析投影格式時間方向的精度，因此空間保持連續。儘管問題被簡化，但是在這種簡化條件下，採用正則模態方法分析投影格式精度的做法被廣泛接受。
三階精度和格式穩定性的影響
提出了求解不可壓N-S方程的一個三階精度的投影格式，並分析了壓力更新公式的作用。發現壓力更新公式不僅對格式的精度產生影響，同時還影響格式的穩定性。通過正則模態方法進一步分析得到的投影格式可以保證速度和壓力都具有三階精度，同時發現當採用傳統壓力更新公式時，壓力中將含有偽模成分，並使得壓力在邊界處的精度降低，導致數值邊界層。最後，數值結果驗證了格式具有三階時間精度，並檢驗了兩種不同的壓力更新公式對格式穩定性的影響。
