《正則化總體最小二乘問題的高性能算法及理論研究》是依託蘭州大學，由鄭兵擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：正則化總體最小二乘問題的高性能算法及理論研究
- 依託單位：蘭州大學
- 項目負責人：鄭兵
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
在圖像恢復、信號處理、地理信息系統以及統計學等領域中, 常常遇到病態總體最小二乘問題的求解問題. 因此，作為目前國際上的一個熱點研究課題之一，病態總體最小二乘問題的正則化高性能算法研究不僅具有重要的數學理論意義，而且具有重要的套用背景與價值. . 本項目主要研究病態總體最小二乘問題的高性能正則化疊代算法以及相關的的預處理技術和其他疊代加速技術. 同時研究具有全局收斂性的正則化算法及相關的理論性問題. 具體研究內容主要涉及以下幾個方面：(1) 研究 （一維，即單右端項）病態總體最小二乘問題在二次等式或不等式約束條件下的高性能正則化疊代算法及相關的預處理技術和其他疊代加速技術. （2）研究（一維）病態總體最小二乘問題無約束條件下的Tikhonov正則化高性能算法. （3）研究多維病態總體最小二乘問題在截斷正則化下的疊代求解算法以及Tikhonov型的高性能正則化算法及相關的理論問題.
結題摘要
本項目所研究的總體最小二乘問題及其相關課題在圖像處理、統計學、控制論以及其它大規模科學計算問題中有著重要的套用背景, 因此， 其高性能算法理論及相關課題的研究不僅具有重要的數學理論意義，而且具有重要的實際套用價值. 本項目主要研究了以下幾個方面的問題：首先研究了總體最小二乘問題基於Lanczos雙對角化的求解算法及其收斂性，同時給出了誤差界的估計. 作為一種疊代型算法，還給出了適當的終止準則，不僅克服了傳統標準的矩陣奇異值分解算法不適合大規模問題的缺點，還可作為病態總體最小二乘問題的一種正則化求解算法。當總體最小二乘問題解不唯一時，給出了其極小範數解條件數的上界估計；在推廣的總體最小二乘問題模型定義下給出了極小範數解條件數的精確表示式及其可計算的最優上下界估計式，改進並統一了近年來國內外學者關於奇異值截斷正則化解等相關結果. 對混合總體最小二乘問題的解進行了擾動分析，具體給出了解的擾動界估計。其次，研究了與最小二乘問題相關的鞍點型正則化求解算法及其在圖像處理中的套用，同時研究了各種廣義鞍點問題的向後誤差及其可計算表示式，為相關的數值求解算法提供了良好的終止準則. 考慮到總體最小二乘問題是一種無約束最佳化問題，最後，研究了無約束最佳化的一些高性能梯度求解算法。作為本項目研究的附加內容，還對張量特徵值等問題還進行了研究，給出了對稱張量Z-特徵對的一個三次收斂算法以及Z-特徵值的最優估計界，極大地改進了國內外學者的相關結果.
