正六面體轉動群

一個正六面體有6個面、8個頂點和12條棱，所以可以分別給出關於面、頂點和棱的正六面體置換表示。

基本介紹

• 中文名：正六面體轉動群

面的置換表示

置換類型	置換的循環表示	不動圖像個數
不動	(1)^6	1
以面心-面心為軸轉±90度	(1)^2(4)^1	2x3=6
以面心-面心為軸轉180度	(1)^2(2)^2	3
以棱中-棱中為軸轉180度	(2)^3	6
以對角線為軸轉±120度	(3)^2	2x4=8
正六面體轉動群的階數為1+6+3+6+8=24

例：正6面體的6個面分別用紅、藍兩種顏色著色，有多少方案?

解：正六面體的面二著色問題，根據Polya定理，方案數為：

頂點置換表示

置換類型	置換的循環表示	不動圖像個數
不動	(1)^8	1
以面心-面心為軸轉±90度	(4)^2	2x3=6
以面心-面心為軸轉180度	(2)^4	3
以棱中-棱中為軸轉180度	(2)^4	6
以對角線為軸轉±120度	(1)^2(3)^2	2x4=8
正六面體轉動群的階數為1+6+3+6+8=24

例：用2種顏色給正6面體的8個頂點著色，有多少方案?

解：正六面體的頂點二著色問題，根據Polya定理，方案數為：

棱的置換表示

置換類型	置換的循環表示	不動圖像個數
不動	(1)^12	1
以面心-面心為軸轉±90度	(4)^3	2x3=6
以面心-面心為軸轉180度	(2)^6	3
以棱中-棱中為軸轉180度	(1)^2(2)^5	6
以對角線為軸轉±120度	(3)^4	2x4=8
正六面體轉動群的階數為1+6+3+6+8=24