正交因子模型

正交因子模型(orthogonal factor model)是一種特殊的公共因子模型。正交因子模型的基本假設是：各個公共因子間相互獨立；各個特殊因子間相互獨立；各個公共因子與各個特殊因子間相互獨立。

基本介紹

• 中文名：正交因子模型
• 外文名：orthogonal factor model
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：統計學（實驗設計)
• 簡介：一種特殊的公共因子模型

數學模型

設有p維可觀測的隨機向量 ，其均值為 ，協方差矩陣為 。因子分析的一般模型為

其中 為公共因子， 為特殊因子，它們都是不可觀測的隨機變數。公共因子 出現在每一個原始變數 的表達式中，可理解為原始變數共同具有的公共因素；每個公共因子 一般至少對兩個原始變數有作用，否則可考慮將它歸人特殊因子。每個特殊因子 僅僅出現在與之相應的第i個原始變數 的表達式中，它只對這個原始變數有作用。(1)式可用矩陣、向量表示為

式中 為公共因子向量， 為特殊因子向量， 稱為因子載荷矩陣。通常假定

該假定和關係式(2)構成了正交因子模型。由上述假定可以看出，公共因子彼此不相關且具有單位方差，特殊因子也彼此不相關且和公共因子也不相關。

正交因子模型的性質

1． 的協方差矩陣 的分解

由(2)、(3)知

這就是 的一個分解。如果A只有少數幾列，則上述分解式揭示了 的一個簡單結構。由

於D是對角矩陣，故 的非對角線元素可由A的元素確定，即因子載荷完全決定了原始變數

之間的協方差。如果 為各分量已標準化了的隨機向量，則 就是相關矩陣R，即有

分解式(4)是在 滿足正交因子模型的假定下推導出的，而對一般未作此假定的 ，(4)式是不容易準確得到的。當m=p時，任何協方差矩陣 均可按(4)式進行分解，如可取 ，但此時的分解對因子分析來說是毫無意義的，因為進行因子分析的目的就是要降維。在因子分析的大多數套用中，出於降維的需要，我們希望m要比p小得多，通常只能使這種分解近似成立，近似程度越好，表明因子模型擬合得越佳。

2．模型不受單位的影響

將 的單位作變化，通常是作一變換 ，這裡C=diag( )， ，於是

令 ，則有

這個模型能滿足完全類似於(3)式的假定，即

其中 。因此，單位變換後新的模型仍為正交因子模型。

3．因子載荷是不唯一的

設T為任一m×m正交矩陣，令 ，則模型(2)能表示為

因為

所以仍滿足條件(3)。從(4)或(6)式都可看出， 也可分解為

顯然，因子載荷矩陣A不是唯一的，在實際套用中常常利用這一-點,通過因子的旋轉使得新的因子有更好的實際意義。