在數論中，歐幾里得引理是根據歐幾里得的《幾何原本》第七卷的命題30推出的一個定理。
歐幾里得引理,命題30的證明,
歐幾里得引理
這個引理說明：
如果一個正整數整除另外兩個正整數的乘積，第一個整數與第二個整數互質，那么第一個整數整除第三個整數。
可以這樣表達這個引理：
如果| ，gcd(,)=1 那么 |。
命題30是這樣說的：
如果一個素數整除兩個正整數的乘積，那么這個素數可以至少整除這兩個正整數中的一個。
如果 | 那么 | 或者 |。
命題30的證明
設為的一個素因子，但不是的因子。於是，可設rp=ab，其中是的另外一個因子。由於是素數，且不是的因子，和一定是互素的。這就是說，可以找到兩個整數和，使得1=px+ay（裴蜀定理）。兩邊乘以，可得：
b=b(px+ay)
b=bpx+bay
前面已經說了:rp=ab
so,b=bpx+rpy
b=p(bx+ry）
所以，是的因子。這就是說，要么整除，要么整除，要么都能整除。證畢。
