《次黎曼流形中的等周問題》是依託南京理工大學，由趙培標擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：次黎曼流形中的等周問題
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：趙培標
- 依託單位：南京理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本課題擬用幾何測度、非線性分析等方法，深入研究次黎曼流形中的等周問題。主要研究等周集的存在性、等周集邊界的幾何刻畫、Sobolev不等式與局部等周不等式的等價性等。對次黎曼Carnot群之間Lipschitz映射，構建面積、余面積公式，研究Carnot群中常平均曲率曲面的穩定性、極小化子的正則性，給出基於Current的第一、第二基本形式以及Varifold的變分公式；構建Current的形變定理和閉包定理，證明等周不等式和Pansu猜想。這些研究可望進一步弄清次黎曼Carnot群的本質結構，建立Carnot群中關於Current的幾何分析框架，進一步發展次黎曼Carnot群中幾何測度論和次橢圓運算元理論。由於次黎曼Carnot群在控制論、經典力學、規範場論、次橢圓運算元等純粹數學和套用數學領域都有重要的套用，它在過去的二十年來引起了廣泛的關注，所以開展這一領域的研究非常必要。
結題摘要
項目組利用幾何測度理論、變分法、非線性分析、黎曼幾何等方法，圍繞次黎曼流形中的等周不等式、賦予半對稱聯絡的次黎曼空間中的幾何分析問題等，系統深入地開展相關研究。通過Carnot群結構、幾何測度論、Pansu導數以及dilation結構理論等技巧以及共形不變數、半調和微分運算元等基本技術手段，本項目解決或部分解決了等周集的存在性、等周集邊界的幾何刻畫、Sobolev不等式、部分Pansu猜想、半調和函式、漸近次黎曼空間中ADM質量猜想的證明等。 系統研究並給出幾類權重空間中等周不等式的證明、等周集的刻畫等；系統研究並給出賦予半對稱聯絡次黎曼空間諸如共形幾何的分析；較為系統研究了賦半對稱聯絡次黎曼空間的半調和函式、證明了ADM正質量猜想問題。 初步建立了賦予半對稱聯絡的次黎曼空間中的幾何與分析框架。已發表或錄用論文20餘篇，組織了1場國際學術會議、參加國際數學家大會等會議6場。待出版專著一本《幾何無套利分析》
