欠角

定義

欠角是為了研究凸多面體而形成的定義，該定義的引出是為了更好地認識三維空間中的凸多面體，能夠更快認識到圖多面體的性質。

具體定義如下：凸多面體與一個頂點相關的面角之和與360度的差稱為該頂點的欠角。

凸多面體各頂點的欠角之和為720度。該性質可以由歐拉定理證明。

詳細證明如下：

設V，S，E分別是凸多面體的頂點集，面集和邊集。由歐拉定理可得

，設

為與頂點

，面

形成的相關面角，

為

的邊數，給定

則

欠角以及欠角和的套用舉例如下：

以正四面體為例，正四面體的每個面都是正三角形，因此每個面的內角為60度。

每個頂點上都有三個面角，則該頂點三個面角之和為180度。

則根據定義可得，每個頂點的欠角為360-180=180度。

四面體一共有四個頂點，而且完全相同，因此四個頂點的欠角和為720度。

該定理可以幫助認識新的凸多面體，如足球等凸多面體，幫助分析組合數學的波利亞定理中涉及的凸多面體轉動群。

對於足球問題的分析，常見的問題是足球有多少個頂點，由多少個正五邊形和多少個正六邊形組成？

正五邊形每個內角為108度，正六邊形每個內角為120度，而足球中每個頂點由兩個正六邊形和一個正五邊形匯聚而成，這樣足球的遷就為360-120

2-108=12度，根據凸多面體各頂點的欠角之和為720度，足球一共有

個頂點。所以五邊形的個數為

個，六邊形的個數為

個