機器數是將符號"數位化"的數，是數字在計算機中的二進制表示形式。機器數有2個特點：一是符號數位化，二是其數的大小受機器字長的限制。
基本介紹
- 中文名：機器數
- 外文名：computer number
- 形式：原碼、反碼、補碼
- 領域：信息科學
特點,分類,機器數的形式,機器數的算術運算,機器數的表示方法,
特點
機器數有兩個基本特點：
1、數的符號數值化。實用的數據有正數和負數，由於計算機內部的硬體只能表示兩種物理狀態（用0和1表示），因此實用數據的正號“+”或負號“-”，在機器里就用一位二進制的0或1來區別。通常這個符號放在二進制數的最高位，稱符號位，以0代表符號“+”，以1代表符號“-”。因為有符號占據一位，數的形式值就不等於真正的數值，帶符號位的機器數對應的數值稱為機器數的真值。 例如二進制真值數-011011，它的機器數為 1011011。
2、二進制的位數受機器設備的限制。機器內部設備一次能表示的二進制位數叫機器的字長，一台機器的字長是固定的。字長8位叫一個位元組（Byte），機器字長一般都是位元組的整數倍，如字長8位、16位、32位、64位。
分類
根據小數點位置固定與否，機器數又可以分為定點數和浮點數。 通常，使用定點數表示整數，而用浮點數表示實數。整理如下：
1、整數。認為整數沒有小數部分，小數點固定在數的最右邊。整數可以分為無符號整數和有符號整數兩類。無符號整數的所有二進制位全部用來表示數值的大小；有符號整數用最高位表示數的正負號，而其他位表示數值的大小。例如十進制整數-65的計算機內表示可以是11000001。
2、實數。實數的浮點數表示方法是：把一個實數的範圍和精度分別用階碼和尾數來表示。在計算機中，為了提高數據表示精度，必須表示小數點的位置，因此規定浮點數必須寫成規範化的形式，即當尾數不為0時，其絕對值大於或者等於0.5且小於1（註：因為是二進制數，要求尾數的第1位必須是1）。例如設機器字長為16位，尾數為8位，階碼為6位，則二進制實數-1101.010的機內表示為0000100111010100。
3、機器數與真值。不帶符號的數是數的絕對值，在絕對值前加上表示正負的符號就成了符號數。直接用正號“+”和負號“-”來表示其正負的二進制數叫做符號數的真值。在計算機中不僅用0，1編碼的形式表示一個數的數值部分，正、負號亦同樣用0，1編碼表示。把符號數值化以後，就能將它用於機器中。我們把一個數在機器內的表示形式稱為機器數。而這個數本身就是該機器數的真值。“01101”和“11101”是兩個機器數，而它們的真值分別為+1101和-1101。
機器數的形式
1、原碼
將數的真值形式中“+”號用“0”表示，“-”號用“1”表示時，叫做數的原碼形式，簡稱原碼。若字長為n位，原碼一般可表示為：
當X為正數時[X]原和X一樣，即[X]原 = X。當X為負數時 。由於X本身為負數，所以，實際上是將∣X∣數值部分絕對值前面的符號位上寫成“1”即可。
原碼錶示法比較直觀，它的數值部分就是該數的絕對值，而且與真值、十進制數的轉換十分方便。但是它的加減法運算較複雜。當兩數相加時，機器要首先判斷兩數的符號是否相同，如果相同則兩數相加，若符號不同，則兩數相減。在做減法前，還要判斷兩數絕對值的大小，然後用大數減去小數，最後再確定差的符號，換言之，用這樣一種直接的形式進行加運算時，負數的符號位不能與其數值部分一道參加運算，而必須利用單獨的線路確定和的符號位。要實現這些操作，電路就很複雜，這顯然是不經濟實用的。為了減少設備，解決機器內負數的符號位參加運算的問題，總是將減法運算變成加法運算，也就引進了反碼和補碼這兩種機器數。
2、反碼
如前所述，為了克服原碼運算的缺點，採用機器數的反碼和補碼錶示法。即對正數來說，其反碼和原碼的形式相同；對負數來說，反碼為其原碼的數值部分各位變反。
3、補碼
補碼是根據同餘的概念引入的，我們來看一個減法通過加法來實現的例子。假定當前時間為台北時間6點整，有一隻手錶卻是8點整，比台北時間快了2小時，校準的方法有兩種，一種是倒撥2小時，一種是正撥10小時。若規定倒撥是做減法，正撥是做加法，那么對手錶來講減2與加10是等價的，也就是說減2可以用加10來實現。這是因為8加10等於18，然而手錶最大只能指示12，當大於12時12自然丟失，18減去12就只剩6了。這說明減法在一定條件下，是可以用加法來代替的。這裡“12”稱為“模”，10稱為“-2”對模12的補數。推廣到一般則有：
A – B = A + ( – B + M ) = A + ( – B )補
可見，在模為M的條件下，A減去B，可以用A加上-B的補數來實現。這裡模(module)可視為計數器的容量，對上述手錶的例子，模為12。在計算機中其部件都有固定的位數，若位數為n，則計數值為 ，亦即計數器容量為 ，因此計算機中的補碼是以“ ”為模，其定義如下：
簡言之，對正數來說，其補碼和原碼的形式相同；而從（3）式和（4）式可以看出，對於負數，補碼為其反碼的末位加1。
總之，正數的原碼、反碼和補碼是完全相同的；負數的原碼、反碼和補碼其形式各不相同。另外，特別要注意的是，對於負數的反碼和補碼（即符號位為1的數），其符號位後邊的幾位數表示的並不是此數的數值。如果要想知道此數的大小，一定要求其反碼或補碼才行。
機器數的算術運算
1、反碼的算術運算
反碼運算要注意的問題：
（1）反碼運算時，其符號位與數值一起參加運算。
（2）反碼的符號位相加後，如果有進位出現，則要把它送回到最低位去相加（循環進位）。
（3）用反碼運算，其運算結果亦為反碼。在轉換為真值時，若符號位為0，數位不變；若符號位為1，應將結果求反才是其真值。
[例1] 已知X = + 1101 , Y = + 0110 , 用反碼計算Z = X-Y。
解： [X]反 = 01101，[-Y]反 = 11001，則[Z]反 =[X]反+[-Y]反 = 01101+11001+1（循環進位）= 00111 , 其真值為Z = +0111。
[例2] 已知X = + 0110 , Y = + 1101 , 用反碼計算Z = X-Y。
解： [X]反 = 00110，[-Y]反 = 10010，則[Z]反 =[X]反+[-Y]反 = 00110 + 10010= 11000 , 其真值為Z = - 0111。
採用反碼運算較好的解決了原碼運算所遇到的困難或問題，但由於循環進位需要二次算術相加，延長了計算時間，這同樣給電路帶來麻煩。而採用下述的補碼運算則可避免循環進位的兩次計算，同時，採用補碼運算對溢出的判斷也較採用反碼簡單的多，所以機器中的算術運算普遍採用補碼運算。
2、補碼的算術運算
補碼運算要注意的問題：
（1）補碼運算時，其符號位與數值部分一起參加運算。
（2）補碼的符號位相加後，如果有進位出現，要把這個進位捨去（自然丟失）。
（3）用補碼運算，其運算結果亦為補碼。在轉換為真值時，若符號位為0，數位不變；若符號位為1，應將結果求補才是其真值。
[例3] 已知X = + 1101 , Y = + 0110 , 用補碼計算Z = X-Y。
解： [X]補 = 01101，[-Y]補 = 11010，則[Z]補 =[X]補+[-Y]補 = 01101+11010
= 100111 , 其真值為Z = + 0111。
[例4] 已知X = + 0110 , Y = + 1101 , 用補碼計算Z = X-Y。
解： [X]補 = 00110，[-Y]補 = 10011，則[Z]補 =[X]補+[-Y]補 = 00110 + 10011
= 11001 , 其真值為Z = - 0111。
3、溢出及補碼溢出的判斷
無論採用何種機器數，只要運算的結果大於數值設備所能表示數的範圍，就會產生溢出。 溢出現象應當作一種故障來處理，因為它使結果數發生錯誤。異號兩數相加時，實際是兩數的絕對值相減，不可能產生溢出，但有可能出現正常進位；同號兩數相加時，實際上是兩數的絕對值相加，既可能產生溢出，也可能出現正常進位。
由於補碼運算存在符號位進位自然丟失而運算結果正確的問題，因此，應區分補碼的溢出與正常進位。
[例5] 某數字設備用五位二進制表示數，計算
（1）9+3 （2）-9-3 （3）9+12 （4）-9-12
解：（1）[+9]補+[+3]補= 01001+ 00011 = 01100 = +12 正確；
（2）[-9]補+[-3]補= 10111+ 11101 = 110100 = 10100（符號位進位自然丟失），其真值為-1100 = -12正確；
（3）[+9]補+[12]補= 01001 + 01100 = 10101 其真值為-1011 =-11錯誤，產生了溢出；
（4）[-9]補+[-12]補 = 10111+10100 = 101011 其真值為01011= +11 錯誤，產生了溢出。
（1）、（2）兩題結果均正確，查其最高位和次高位的進位位，不是均無進位產生，就是均產生進位；（3）、（4）兩題結果均錯誤，查其最高位和次高位的進位位，只有一位產生了進位。此即為判斷機器是正常進位還是溢出的基本依據，在微型機中可用異或電路來實現上述的判斷。
機器數的表示方法
1、定點表示法
定點，即小數點固定，固定在有效數位的最前面或最後面。因為位置是固定的，所以可以隱藏。
在最前面則表示純小數，在最後面則表示純整數，因此在定點計算機的程式語言中，純小數對應一種變數類型，純整數對應一種變數類型。
由於只能表示純小數或純整數，在編程時要設定合適的比例因子。
2、浮點表示法
N = M x rE
r是浮點數階碼的底，又叫尾數的基數，通常r=2，但可改變。
r增大，可表示數的範圍增大。
r增大，可表示數的個數增大。
r增大，可表示數的精度下降。
r增大，將使運算中移位的次數減少，運算速度提高。
E叫做階碼，純整數，常用移碼或補碼錶示。
M叫做尾數，純小數，常用原碼或補碼錶示。
E與M都是帶符號的定點數。
階碼存入階碼部件，尾數存入尾數部件，一個浮點數是由兩個不同的物理部件處理的，
機器就是這么區分哪部分是階碼，哪部分是尾數的，各部件又可進行各種操作，如階碼的相加、相減、比較操作。
浮點數的表示範圍主要由階碼的位數決定，有效數字精度主要由尾數的位數決定。
浮點數的階碼常採用移碼錶示，最主要的原因為：
（1）便於比較浮點數的大小。階碼大的，真值就大；階碼小的，真值就小。
（2）簡化機器中的判0電路。當階碼全為0，尾數也全為0時，表示0。
同一數值的移碼和補碼除最高位相反外，其它各位相同。
移碼通常取2n-1或2n為偏置值。
