格子方設計亦稱格子方區組設計，簡稱格子設計，Yates(1936)提出，用來提高試驗精確度，用用格子方安排m2型析因試驗的一種常用雙向區組設計方法，其中m是素數。格子設計是一類不完全區組設計(incomplete block design)，是在農作物試驗中提高治療比較的精度中引入的。格子設計可分為平方格子設計、立方格子設計和矩形格子設計等。
基本介紹
- 中文名：格子方設計
- 外文名：Lattice Designs
- 別稱：格子方區組設計，格子設計
- 所屬學科：數學（統計學）
- 提出者：Yates1936提出
問題引入,格子設計的作用,格子設計的特點,格子設計的要求,格子設計的種類,平方格子設計,立方格子設計,矩形格子設計,
問題引入
混雜設計和部分實施設計的功用是解決了多因素試驗中處理太多和區組容量過少的矛盾。這一矛盾不僅在多因素試驗中存在，在單因素試驗中也常遇到因處理數過多而使試驗難以實施問題。如農業中品系的比較試驗，品系一般多達幾十個，甚至幾百個，這么多的試驗材料採用一般的隨機區組試驗是難以進行的，而混雜設計與部分實施設計又是多因素試驗設計方法，難以解決單因素試驗中存在的因處理數太多、區組容量過少的矛盾。過去曾經把單因素多水平的試驗分成若干個小試驗，如將100個品系的比較試驗，分成5個小試驗，在每個小試驗中均設立一個共同的對照。這種試驗方法在同一個小試驗中處理間的比較或各個處理與對照比較準確性較高，而不同小試驗中處理間的比較或處理與對照的比較差異較大，試驗效果也不夠理想。因為試驗與試驗之間一般不存在較大差別，又沒有理想的方法進行恰當的矯正，對各個品系很難做出綜合評價。也曾有人採用裂區試驗設計方法，將試驗材料分成若干個主區和若干個副區。如將100個品系的比較試驗分成10個主區和10副區，產生兩種試驗誤差
和
，同一區組內品系間的比較用 ，比較精度較高。但不同區組內品系的平均數之問也難以得到正確比較，因為主區對副區而言就是區組，但對整個試驗而言又是不完全區組。不同主區間各個主處理效應即包括品系的真實效應，又包括不完全區組效應，既處理效應與不完全區組混雜。因此，可以套用混雜原理進行格子試驗。如將單因素試驗假定為多因素試驗，通過混雜將一次重複分成若干個不完全區組，使每個不完全區組內的品係數減少，解決了單因素試驗中水平數過多和環境差異不易控制的矛盾，提高了試驗效率和試驗結果的可靠性。
格子設計的作用
格子設計也稱擬復因子設計或準復因子設計，是用來解決單因素試驗中水平數太多和環境差異不易控制的矛盾。在格子設計中，假定單因素試驗為多因素試驗，將一次重複或一個區組分成若干個不完全區組，增強了局部控制作用，使試驗條件的均勻性得以提高，有助於提高試驗結果可靠性。F.Yates連續七年的試驗證明格子設計的試驗效率比隨機區組試驗提高1.89倍，表明格子設計的精確度與靈敏度較高。
格子設計的特點
格子設計的主要特點是在不完全區組中包含有處理間的效應，在處理效應中也包含有不完全區組的效應。因此，可以通過混雜原理，對處理效應進行矯正，去掉包含在處理效應中的不完全區組效應，真正反映出處理問的真實差異，以便對各個處理進行綜合評價。對不完全區組的效應進行矯正，目的是去掉包含在不完全區組中處理效應，以正確估計試驗誤差，進行處理間的相互比較。
格子設計的要求
格予設計的基本要求是對各個不完全區組、各個處理以及變名、X群、Y群均進行隨機化處理，以便得到無偏的試驗誤差估計。X群與Y群要均衡，即有一個X群必需有一個Y群與其配合，所以重複次數一定是偶數。主要目的是通過x群對Y群進行矯正，反之，通過Y群再對X群進行矯正。
格子設計的種類
平方格子設計
在供試因素或因素的水平為某一整數(p+1)的平方時，可以採用平方格子設計，平方格子設計是將一個單因素試驗假定為A、B二因素各具(p+1)個水平的、一種試驗處理組合。如25個品系比較試驗，或36個品系的比較試驗，可以採用52或62格子試驗。
32格子設計
如將具有9個試驗處理的單因素試驗，假定為A、B二因素各具3個水平的一種試驗處理組合。見表1，將表1改換成變名得表2。
擬因素 | ||||
B0 | B1 | B2 | ||
擬因素 | A0 | 1 | 2 | 3 |
A1 | 4 | 5 | 6 | |
A2 | 7 | 8 | 9 | |
B0 | B1 | B2 | |
A0 | 00 | 01 | 02 |
A1 | 10 | 11 | 12 |
A2 | 20 | 21 | 22 |
如果將A因素的3個水平如00 01 02、10 11 12、20 21 22分別劃分成3個不完全區組，每個不完全區組有3個處理，則A因素的處理效應與不完全區組混雜，這一混雜稱為A因素的X群；同樣將B因素的3個水平如00 10 20，01 11 21，02 12 22，分別劃分成3個不完全區組，每個不完全區組也有3個處理，B因素的處理效應就與不完全區組混雜，這一混雜稱B因素的Y群。在X群A因素的效應被混雜，B因素的可比性提高；在Y群B因素的效應被混雜，A因素的可比性提高。可以用X群的試驗信息去矯正Y群；同樣可以用Y群的試驗信息去矯正X群。因此，A、B二因素的可比性均較高。
立方格子設計
在供試因素或因素的水平為某一整數(p+1)的立方時，可採用立方格子設計。立方格子設計是將一個單因素試驗假定成A、B、C三因素，各具(p+1)個水平的一種試驗處理組合。如27或64個品系的比較試驗，可以假定成33或43試驗。
如具有(p+1)3個品系的比較試驗，可以假定A、B、C三因素各具有(p+1)個水平的試驗處理組合。
如果用A因素的(p+1)個水平如
分別劃分成(p+1)個不完全區組，每個不完全區組有(p+1)個處理，則A因素的處理效應與不完全區組混雜，B、C處理效應的可比性較高，這一混雜稱為A因素的X群；如果用B因素的(P+1)個水平劃分成(P+1)個不完全區組，B因素的處理效應就與不完全區組混雜；A、C處理效應的可比性較高，這一混雜稱為B因素的Y群；同樣用C因素的(P-I-1)個水平劃分成(p-I-1)個不完全區組，c的處理效應也與不完全區組混雜，而B、C處理效應的可比性較高，這一混雜也稱C因素的Z群。在X、Y、Z群中都是一個因素的處理效應被混雜，而其它二因素的可比性較高。可以用任意一群的試驗信息去矯正其它兩群的處理效應。
矩形格子設計
若供試因素或因素的水平為兩個相鄰整數p和(p+1)的乘積時，可以採用矩形格子設計。矩形格子設計是將一個單因素試驗假定為A、B二因素，分別具有p和(p+1)個水平的一種試驗處理組合。
矩形格子設計是在拉丁方設計的基礎上進行的，先找一個(p+1)×(p+1)的拉丁方，行與列要進行隨機化處理，不考慮主對角線，然後可以按行劃分不完全區組，亦可以按列劃分不完全區組，第三次重複也可以按副對角線劃分不完全區組。
2X3格子設計找出一個3X3的拉丁方，然後可以按行、列以及副對角線各劃分出不完全區組。見表3。
重複Ⅰ（行） | 重複Ⅱ（行） | 重複Ⅲ（行） | |||
⑴ | ⑵ | ⑶ | ⑸ | ⑷ | ⑹ |
⑶ | ⑷ | ⑴ | ⑹ | ⑵ | ⑸ |
⑸ | ⑹ | ⑵ | ⑷ | ⑴ | ⑶ |
將上錶轉換成擬復因素A、B，分別具有2和3個水平的不完全區組，見表4。
重複Ⅰ（行） | 重複Ⅱ（行） | 重複Ⅲ（行） | |||
00 | 01 | 02 | 11 | 10 | 12 |
02 | 10 | 00 | 12 | 01 | 11 |
11 | 12 | 01 | 10 | 00 | 02 |
矩形格子設計的重複次數應為偶數，即行與列均應劃分成不完全區組。用行劃分出不完全區組後，行間的各個處理效應發生混雜，而列間處理效應的可比性較高；同樣用列劃分出不完全區組後，列間的處理效應也發生混雜，而行間處理效應的可比性較高。然後用行的處理效應對列進行矯正，再用列的處理效應對行進行矯正，使行與列處理效應的可比性均較高。
