基本介紹
- 中文名:柯西色散公式
- 外文名:Cauchy's dispersion formula
- 公式:n(λ)=a+b/λ^2+c/λ^4
- 類型:色散公式
- 領域:光學
簡介,理論推導,
簡介
n(λ)=a+b/λ2+c/λ4。
其中 a,b,c 是三個柯西色散係數,因不同的介質而不同。
只須測定同一物質的三個不同的波長下的折射率n(λ),代入柯西色散公式中可得到三個聯立方程式,解這組聯立方程式就可以得到該介質的三個柯西色散係數。有了三個柯西色散係數,就可以計算出其他波長下的折射率不需要再測量。
除了柯西色散公式之外,還有其他的色散公式。如 Hartmann色散公式、Conrady色散公式、Hetzberger色散公式等。
理論推導
我們不妨假設有一列平面波(也就是一束平行光)沿著 z 軸照射到介質表面,平面波的方程為
。
假設這列光波要通過一個厚度為 Δz 的介質,如果在介質中光速為c/n,那么在介質中光就會額外花費一些時間來傳播。
於是,在介質之後的光矢量就是
。
於是,在介質之後的光矢量,與原先的光矢量相比,相當於“延後”了一個相位。也就是乘以了一個相位因子。
當光從真空中照射到一種介質(比如玻璃)上,這種介質分子內部的帶電粒子,就會受到影響而振盪起來。當然原子核受到各種約束其實是振盪不起來的,振盪起來的只是原子外層的電子。
如果我們設定介質表面位於 z=0 的地方,那么介質表面處的光矢量就是
。
那么在介質中的電子就受到這樣一個回復力進行運動。如果我們認為原子外層的電子,其運動行為類似於一個彈簧振子(這個假設非常地想當然,但的確是對真實情況的一種很好的近似),那么一個彈簧振子在周期性回復力下表現為一個簡諧振動,運動方程為
。
所有電子都在其平衡位置附近做這樣的簡諧振動。所有電子同時做這樣的簡諧振動,就產生了一個整體的振動的場強,從而產生了一個新的光矢量
。(這部分推導比較繁瑣,因此略去)
對比一下,可以知道
。
其中,是介質中電子的“固有頻率”,是光的頻率,反比於光的波長。
把上面式子裡無關的常數都放到一起,頻率換成波長,可以得到這樣的結果:
。
這裡,就是與對應的“固有波長”。
這裡,就是與對應的“固有波長”。
對於常見的玻璃來說,在紫外區域。對於可見光波長範圍內的都有。按照級數展開,就有
。
由此可見,儘管柯西色散公式是一個經驗公式,但確實能夠從折射率的微觀機理上得到解釋。
事實上,透明材料(比如玻璃)往往具有多個不同的固有頻率,同時電子的受迫振動也並非簡諧振動而是阻尼振動。將這兩項因素考慮進上面的推導過程,能得出更接近實際情況的折射率表達式。但對於推導柯西色散公式來說,這裡就足夠了。