李特爾伍德-佩利理論

李特爾伍德-佩利理論是指關於lp(p>1)空間中傅立葉級數的理論,1931~1940年由J.E.李特爾伍德、R.E.A.C.佩利首創,後由A.贊格蒙、J.馬欽凱維奇等加以發展。

基本介紹

  • 中文名:李特爾伍德-佩利理論
  • 提出者:J.E.李特爾伍德、R.E.A.C.佩利
  • 提出時間:1931~1940年
  • 套用學科:數學
關於(>1)空間中傅立葉級數的理論,1931~1940年由J.E.李特爾伍德、R.E.A.C.佩利首創,後由A.贊格蒙、J.馬欽凱維奇等加以發展。它包括以下兩個方面。
① 引進兩個重要函式(或運算元):
式中()=(e)是單位圓||1,那么存在著僅與有關的常數,,使
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成立。式(1)和(2)的第一個不等式,還要加上(0)=0的條件。
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② 三角級數的二進分塊。假設()為實值函式,並且()∈(0,2π),又設()的傅立葉級數
。 (3)
把(3)分成如下的三角多項式塊:
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叫做三角級數(3)的二進分塊。
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從(1)可以得到以下的結論:存在常數(>1),使
不等式(5)是研究空間中傅立葉級數的基本工具,它的作用相當於刻畫(0,2)空間特徵性質的帕舍伐爾等式:設∈(0,2),又設的傅立葉級數那么
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(6)
反之,一個三角級數的係數滿足條件時,它就是(0,2π)空間中某函式的傅立葉級數。這就是說,三角級數係數的模的大小,能夠確定它是否屬於(0,2π)。對(0,2π),≠2,類似的問題,複雜得多了。下面是一個例子。
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任取一個函式()∈(0,2π) (1<<2),並設,假如那么可以證明,當隨機地取±號時,級數“基本上”(以機率1)都不是傅立葉級數。這說明,不可能期望以三角級數的係數的大小來刻畫(≠2)空間中函式的特徵性質。李特爾伍德-佩利理論正是從這個目的出發去研究空間的。上述①中的、函式,以及②中對三角級數的二進分塊,都是研究空間的重要工具。
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李特爾伍德-佩利理論的建立,在很大程度上依靠了複變函數論中解析函式的許多重要性質。但是,多元複變函數論的情況很不一樣,影響了李特爾伍德-佩利理論在高維空間的推廣。1952年出現了考爾德倫-贊格蒙研究高維空間奇異積分的奠基性論文,其中採用的實變函式論方法,對研究高維空間很有成效。在他們影響下,E.M.施坦把李特爾伍德-佩利理論的函式與Η.Η.盧津的面積函式推廣到高維空間,並建立了相應的定理。1961年,斯坦又把函式推廣到高維空間,他是利用調和函式來建立的,這些函式已經成為高維空間中傅立葉分析的基本工具。

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