《有限群的臨界群與導出自同構》是依託上海大學，由郭秀雲擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：有限群的臨界群與導出自同構
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：郭秀雲
- 依託單位：上海大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
傳統意義上的臨界群在有限群論的研究中扮演著非常重要的角色，因而深入研究臨界群在群系體系中的表現形式以及這種臨界群的表現如何通過群系來影響有限群的結構自然成為重要的研究課題. 本課題正是希望從著名數學家Bear和 Wielandt的思想出發，套用他們所定義的norm和Wielandt子群在有限群論研究中所折射出的本質特徵，通過誘導自同構等技術手段建立群系理論，特別是飽和群系理論的基本體系下的具有廣泛意義的 臨界性質群.並進一步探索這種臨界性質群與群系意義下的超中心、投射子和覆蓋子群之間的關係，以及如何通過群系（特別是飽和群系）來影響有限群的結構.相信我們的研究工作對於完善群系理論（特別是飽和群系理論）以及臨界群的研究有積極的推動作用，也為norm和Wielandt子群的研究提供更廣闊的空間，從而推進Bear 和 Wielandt問題的解決.
結題摘要
為建立有限群的飽和群系下的臨界群的理論，我們將研究的重點放在了有限群的F-剩餘在該有限群的某些特殊正規子群上所誘導的自同構群的性質上 (這裡F 是一個飽和群系), 這就引導我們來深入研究有限群的p-主因子可以成為F-中心主因子與該有限群的某些誘導自同構之間的內在聯繫. 為此我們較系統地研究了具有某種自同構作用的有限p-群的結構；其正規子群的共軛類長具有連續整數的有限群的結構， 以及非正規循環子群的正規化子為極大子群的有限群的結構. 並從群系的角度給出了有限群類為“Z_p-閉性質”的一些基本條件，從而將著名群論專家 Bear所研究的norm 推廣到更加廣泛意義下的 norm子群，並將這種廣義的 norm子群與有限群的群系剩餘的中心化子建立了緊密的聯繫， 使得這個廣義的norm子群所誘導的自同構在一定程度上可以通過該有限群的某箇中心化子來度量. 這些研究不僅統一併推廣了原來看上去毫無關係的一些結果，而且也為我們研究所謂的“F-剩餘與F-極大子群之間的聯繫”創造了條件，也為建立F-剩餘與F-超中心以及F-剩餘與F-投射子之間的關係奠定了基礎. 實際上，我們給出了“F-剩餘與F-極大子群之間的聯繫”圓滿的答案，同時也推廣了關於p-冪零群的著名的Frobenius定理和Thompson定理. 更重要的是為從本質上建立飽和群系的p-局部系的“臨界性質的群”提供了方便，也為 “norm”和“Wielandt子群”的研究提供更廣闊的空間. 相信我們的研究工作對於完善群系理論（特別是飽和群系理論）以及臨界群的研究有積極的推動作用.
