有理角，[-π, π)上的角t，滿足cos t與sin t同時為有理數，稱為有理角。
令cos t=a/c, sin t=b/c，即a^2+b^2=c^2，a,b 為正負整數或零, c正整數；且a,b,c無公因子。有理角t與廣義整數直角三角形[a,b,c]一一對應，簡記為t~[a,b,c]。
基本介紹
- 中文名：有理角
- 定義：滿足cos t與sin t同時為有理數
- 構成：有理角t常為無理數
- 簡記：t~[a,b,c]
構成,有理角群,
構成
除t=0外，有理角t常為無理數。有理角t的構成有兩種等價的通式：
其一，對於任意的一對互質奇數p,q，a=pq (奇數)，b=(p^2-q^2)/2 (4倍數)，c=(p^2+q^2)/2 (4倍數+1)。
其二，對於任意的互質的一奇一偶整數m,n，a=m^2-n^2，b=2mn，c=m^2+n^2。
例如，p=3, q=1(或m=2, n=1)時，t~[3,4,5]，即cos t=0.6, sin t=0.8; t=53°08′。
有理角群
有理角的加法與乘法定義為對應的廣義整數直角三角形的加法與乘法：
t=t1+t2~[a1,b1,c1]+[a2,b2,c2]=[a1a2-b1b2, a1b2+b1a2, c1c2]；
t=t1*t2~[a1,b1,c1]*[a2,b2,c2]=[a1c2+a2c1, b2b1, a1a2+c1c2]。
運算過程包含去除其公因子。此時，t=0為加法零元[1,0,1]; 而t=π/2為乘法單位元[0,1,1]。t~[a,b,c]的負元為-t~[a,-b,c], 其倒元為1/t~[-a,b,c]。t1~[a,b,c]與t2~[b,a,c]互為補元，即ti+t2=π/2 , [a,b,c]+[b,a,c]=[0,1,1]。而t=-π/2為負單位元[0,1,1]；t=π相當於無窮大元[-1,0,1]。實際上，有理角的加法是[-π, π)上關於2π模的實數和。而有理角的乘法t=t1*t2則不同於實數乘法；但與實數乘法有許多類同特性：
(1), 對於任意的有理角s,t，若s>π/2, 則st>t；若s<π/2, 則st<t。
(2), 有理角t^n，如|t|<π/2,則t^n->0;如t>π/2, 則t^n->π; 如t<-π/2, 則t^n發散震盪於π與-π。
[定理1] 有理角全體及其加法運算構成加法交換群。
[定理2] 有理角全體及其乘法運算構成乘法交換群。
但有理角全體按其加法與乘法不滿足交換律，不構成環與域。
