設 f(x) ∈C[a,b],若存在P*n屬於Hn,使得△(f,P*n)=En,則稱P*n是f(x)在[a,b]上的最佳一致逼近多項式。最佳一致逼近多項式是一種用多項式去逼近函式的方法,通常可利用切比雪夫定理進行求解。
基本介紹
- 中文名:最佳一致逼近多項式
- 外文名:polynomials of best uni-form approximation
- 學科:數學
- 求解方法:切比雪夫定理
- 性質:存在性;唯一性
- 領域:數值分析
基本概念,偏差,最小偏差,偏差點,交錯點組,多項式,多項式,例題,
基本概念
偏差
若
,
,則稱
為
與
在[a,b]上的偏差。
![](/img/1/d6a/ad5736430417b52a3eb5e3c5ab1a.jpg)
![](/img/8/f8f/217073273683554d92fcb78dc581.jpg)
![](/img/e/87b/0d206d54b5612ee58f1f553f78cf.jpg)
![](/img/6/a6a/85532d5c293cadc5508c057cd4bc.jpg)
![](/img/0/fa0/7556fd43f5141e57e7b633f473da.jpg)
註:
,
的全體組成一個集合,記作:
,它有下界0。
![](/img/a/5c0/cd6b0af8b27ef6f70cc049bdd6f2.jpg)
![](/img/e/59e/222e5b8c24e23def4d7e2f1e32bb.jpg)
![](/img/f/ab1/2920143caa3e8f2fd9d19265404c.jpg)
最小偏差
若記集合
的下確界為:
![](/img/f/de6/854143110862b93a9a57f3a5c24b.jpg)
![](/img/2/001/f1736d34b6051732c2e26638f7d5.jpg)
![](/img/9/20e/6876f7362457579345e03965e354.jpg)
![](/img/5/52a/b6b620c84a3f28f22a0c21a9ae76.jpg)
![](/img/9/1ab/5c96c4dd94b21263cd867f4f97e8.jpg)
偏差點
設
,
,若在
上有
,則稱
是
的偏差點。
![](/img/8/f8f/217073273683554d92fcb78dc581.jpg)
![](/img/1/d6a/ad5736430417b52a3eb5e3c5ab1a.jpg)
![](/img/1/a82/5b25d3e94257ba8ab218b443969f.jpg)
![](/img/4/f1a/57523de8967622af841dd859e4f4.jpg)
![](/img/3/f23/6da0c434a351df8ea0d104023fff.jpg)
![](/img/a/9dc/4c5be26ab2225c9b5833f2d9a222.jpg)
若
,則稱
是“正”的偏差點。
![](/img/a/6bb/00f567da1c6924623d5eda63c71f.jpg)
![](/img/3/f23/6da0c434a351df8ea0d104023fff.jpg)
若
,則稱
是“負”的偏差點。
![](/img/3/fb9/18a7455d021c961fce18c05d03c9.jpg)
![](/img/3/f23/6da0c434a351df8ea0d104023fff.jpg)
註:由
在
上的連續性可知,偏差點一定存在。
![](/img/a/9dc/4c5be26ab2225c9b5833f2d9a222.jpg)
![](/img/1/771/9f26fd8b0f7176983cd079acdaae.jpg)
交錯點組
若函式
在其定義域的某一區間
上存在 n 個點
,使得:
![](/img/5/52a/b6b620c84a3f28f22a0c21a9ae76.jpg)
![](/img/9/1ab/5c96c4dd94b21263cd867f4f97e8.jpg)
![](/img/9/cb0/411f0668bd7e98a613fe39758b7e.jpg)
![](/img/0/58f/5acd1461f07349e76cf6cd65ae2c.jpg)
![](/img/d/b33/18ab3d4db806db35dae6fe5a93b1.jpg)
則稱點集
為函式
在區間
上的一個交錯點組,點
為交錯點。
![](/img/9/cb0/411f0668bd7e98a613fe39758b7e.jpg)
![](/img/5/52a/b6b620c84a3f28f22a0c21a9ae76.jpg)
![](/img/9/1ab/5c96c4dd94b21263cd867f4f97e8.jpg)
![](/img/f/ffa/07ae57370e577b7f0a7fcb8aee1c.jpg)
多項式
假定
,若存在
使
則稱
是
在
上的最佳一致逼近多項式或最小偏差逼近多項式。
![](/img/8/f8f/217073273683554d92fcb78dc581.jpg)
![](/img/3/479/dff241b8864484d6cefbfe1fc27e.jpg)
![](/img/9/a46/eeb12fa2bcb40a0bcd467633e931.jpg)
![](/img/a/135/646134a498da7ded2ae335cb6c1a.jpg)
![](/img/f/d0d/d98c69fa3acb5727f25d9eea82f7.jpg)
![](/img/e/34d/c495c942891512ab93aba959aee4.jpg)
定理1:若
,則總存在
,使得![](/img/0/98c/e420bf5c60b0737a394a9ed4a446.jpg)
![](/img/8/f8f/217073273683554d92fcb78dc581.jpg)
![](/img/3/479/dff241b8864484d6cefbfe1fc27e.jpg)
![](/img/0/98c/e420bf5c60b0737a394a9ed4a446.jpg)
定理2:設
是區間
上的連續函式,
是
的
次最佳一致逼近多項式,則
必須同時存在正負偏差點。
![](/img/0/064/296a1dd1c577b64b6a8584fd4c0c.jpg)
![](/img/b/f40/18d314b9e5c5f4c4d987f20575a6.jpg)
![](/img/2/092/2176aeb6fd3df7c528c0d5a7396e.jpg)
![](/img/0/064/296a1dd1c577b64b6a8584fd4c0c.jpg)
![](/img/d/155/40cabe87e96ea5cc3e639f8bdac0.jpg)
![](/img/a/5d6/64ce56434e5ae9d694eda1657282.jpg)
![最佳一致逼近多項式 最佳一致逼近多項式](/img/2/d19/nBnauMGNjFTOxIjY1UTYwEzMzcTOzkTO4IWM0AjZ4cjZ0MDM0YjYhRWZhZ2LtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
推論1:如果
,則在
中存在唯一的最佳一致逼近多項式
![](/img/8/f8f/217073273683554d92fcb78dc581.jpg)
![](/img/6/e93/0e02f8e2990e3563bd0ba6f3b5d1.jpg)
推論2:如果
,則其最佳一致逼近多項式
就是
的一個拉格朗日插值多項式。
![](/img/8/f8f/217073273683554d92fcb78dc581.jpg)
![](/img/3/479/dff241b8864484d6cefbfe1fc27e.jpg)
![](/img/9/4fc/fe939eef6b82603595adcb2334ac.jpg)
多項式
設
,
在
內不變號,
是
的一次最佳一致逼近多項式,則a,b屬於交錯點組。
![](/img/0/d74/e7470ef86ecac36922daa818c081.jpg)
![](/img/c/7c2/b829093b3d3e3d51f7c866f5ee3a.jpg)
![](/img/9/1ab/5c96c4dd94b21263cd867f4f97e8.jpg)
![](/img/0/d67/6178f8df7ae98b6817ab13a04012.jpg)
![](/img/3/c1b/ec66242264ae099d2ad197e2d0fd.jpg)
由定理可知:
至少存在3個交錯點,![](/img/f/084/b33e629cbd7a26fdbfedb96b3e9c.jpg)
![](/img/f/084/b33e629cbd7a26fdbfedb96b3e9c.jpg)
![](/img/e/f4e/dce0e1b1f033a5d93c87a8f8ddd1.jpg)
![](/img/f/9c7/f93da4f79a76264e4777ac099dec.jpg)
因為
是
的一次最佳一致逼近多項式 ,所以![](/img/7/c9d/70623c6d2658719626408fb5c281.jpg)
![](/img/0/d67/6178f8df7ae98b6817ab13a04012.jpg)
![](/img/3/c1b/ec66242264ae099d2ad197e2d0fd.jpg)
![](/img/7/c9d/70623c6d2658719626408fb5c281.jpg)
因為
,所以
單調,所以
在
只有一個零點,記作
,即
![](/img/6/915/489ade14793ff8b7b0a5063d3f29.jpg)
![](/img/b/e48/791a72ccf61ae7d9f84267b50e7a.jpg)
![](/img/e/edc/c7943630a2491588324f44ee9175.jpg)
![](/img/9/1ab/5c96c4dd94b21263cd867f4f97e8.jpg)
![](/img/a/2f1/5143483cd39d3acb53b385d395df.jpg)
![](/img/6/89a/0c5c6de7222bc8e64b23f572a21b.jpg)
則有:
![](/img/2/ffa/83d74b34a7729f9a36219a9a1316.jpg)
![](/img/3/142/6f50f68da62e0b5e5fa198e85b64.jpg)
![](/img/1/7db/08caee067dfec40ef1250f0e7c32.jpg)
幾何意義如下圖:
![最佳一致逼近多項式 最佳一致逼近多項式](/img/8/ffb/nBnauQWZxUDZzgzY5AzN2U2M1cDZlZjZ5E2NkhzYxQWYjVTOmFTNyUGNxMzLtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
例題
求函式
在區間
上的最佳一致逼近多項式。
![](/img/9/d73/53422467fed1929646c6264c14c0.jpg)
![](/img/a/7e5/416d838de177bcd55a2fb9888597.jpg)
解:
![](/img/5/683/185a932d78eff3e90de63f564882.jpg)
![](/img/6/b57/d5e700832794ed331685f94b2de9.jpg)
由![](/img/f/5f4/6762a560132475151ad8dac54c4e.jpg)
![最佳一致逼近多項式 最佳一致逼近多項式](/img/6/e4f/nBnaucjNiVGM5IGNxATOiJDOwgDZlhTN0UDM2YjMygTOhNDN1QzNiRzYhV2LtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/f/5f4/6762a560132475151ad8dac54c4e.jpg)
![最佳一致逼近多項式 最佳一致逼近多項式](/img/6/e4f/nBnaucjNiVGM5IGNxATOiJDOwgDZlhTN0UDM2YjMygTOhNDN1QzNiRzYhV2LtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
得:![](/img/e/2f3/0fb9424ff47ee0cb75522ac7213a.jpg)
![](/img/e/2f3/0fb9424ff47ee0cb75522ac7213a.jpg)
即:![](/img/e/bc6/75379ebf6e5c55167a29ad8590df.jpg)
![](/img/e/bc6/75379ebf6e5c55167a29ad8590df.jpg)
解得:![](/img/6/b12/32792c747cdb8af5a1917f34919c.jpg)
![](/img/6/b12/32792c747cdb8af5a1917f34919c.jpg)
故![](/img/0/f13/ec2c28174897e3514e44dff5809f.jpg)
![](/img/0/f13/ec2c28174897e3514e44dff5809f.jpg)
所求一次最佳逼近多項式為![](/img/1/968/3cc71e63d53d4d754a9c897d3b3c.jpg)
![](/img/1/968/3cc71e63d53d4d754a9c897d3b3c.jpg)
故![](/img/5/b71/0554be2012987f478cf1e2f6962d.jpg)
![](/img/5/b71/0554be2012987f478cf1e2f6962d.jpg)
誤差限為:![](/img/a/a20/3f98458a4403503356bdfd81c0f9.jpg)
![](/img/a/a20/3f98458a4403503356bdfd81c0f9.jpg)