曲面映射類群Dehn twist之間的關係

《曲面映射類群Dehn twist之間的關係》是依託華南理工大學，由杜曉明擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：曲面映射類群Dehn twist之間的關係
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：杜曉明
• 依託單位：華南理工大學

項目摘要

曲面的映射類群是幾何拓撲與幾何群論的重要研究對象。怎樣從各個角度刻畫曲面的映射類群一直是數學界關心的問題。研究曲面映射類群性質的基本工具是Dehn twist。本項目主要研究曲面映射類群中有限階元素寫成較對稱的Dehn twist乘積形式、Dehn twist的開根方式這些問題。

結題摘要

研究群在空間上的作用，是數學中一個非常核心的主題。曲面的映射類群，也稱為模群，是由曲面上保定向自同胚的同倫類組成的群。它能非常自然地作用在曲面的雙曲結構上、作用在曲面的復結構上、作用在由簡單閉曲線組成的曲線復形上……因此它在雙曲幾何、復幾何、代數幾何、低維拓撲、幾何群論等等現代重要數學領域中，都起著中心作用。本項目致力於研究曲面映射類群中Dehn twist生成元之間的關係。其中很重要的一個關係是燈籠關係。利用該關係可以大大地化簡整個群的生成元集，並且把生成元的階數從無限化簡到有限。經過三年的項目研究，得到最重要的結果，是曲面映射類群可以取到非常簡單的生成元集。只包含保定向同胚類的曲面映射類群，有限階生成元個數可以降到只有4個，它們的階數分別是2，2，2，3。而對於包含反定向同胚類的曲面擴展映射類群，我們得到一個非常好的結果：生成元個數隻剩下兩個，階數分別是2和4g+2，其中g是曲面的虧格。這個結果有很重要的意義。因為2這個數字已經是下限了，不能再降低。僅由一個有限階元素生成的群必然是循環群，不可能是曲面映射類群。這個結果相當於把該問題做到了盡頭。曲面擴展映射類群能否只有兩個有限階元素生成這個問題從十多年前就被提出來，一直懸而未決。通過本項目的研究，把該問題徹底解決。