《曲率泛函的變分問題及穩定性》是依託湖北大學，由郭希擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：曲率泛函的變分問題及穩定性
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：郭希
- 依託單位：湖北大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
黎曼流形上曲率泛函的研究有著很長的歷史，而黎曼泛函的變分問題和穩定性問題是微分幾何研究中的重要問題。對於閉流形M，通過泛函的一階變分公式可以描述泛函的臨界點的特徵，而通過臨界點處的二階變分公式，可以了解該臨界度量是否穩定。在本項目中，我們擬對如下的問題展開研究：（1）S^(n/2)×S^(n/2)上的標準度量是Weyl泛函的臨界點，n≥8時，考慮該度量的穩定性。（2）當p＞2時，利用一階變分公式尋找p-th Gauss-Bonnet曲率泛函的臨界點的例子，並計算在臨界點出的二階變分，考慮其二階變分在對稱的(0,2)型張量場構成的向量空間的各個子空間的正負性，進而判斷該臨界點是否穩定。
結題摘要
黎曼流形上曲率泛函的研究有著很長的歷史，而黎曼泛函的變分問題和穩定性問題是微分幾何研究中的重要問題。對於閉流形M，通過泛函的一階變分公式可以描述泛函的臨界點的特徵，通過臨界點處的二階變分公式，可以了解該臨界度量的穩定性。在本項目中，我們對如下的問題展開了研究：（1）我們研究了一類廣義的Willmore泛函，並得到了其臨界點的Gap定理。（2）我們證明了Fubini-Study度量是Weyl泛函的嚴格穩定的臨界點。（3）我們研究了球面和環面上p-th Gauss-Bonnet 泛函的二階變分情況。
