時滯混沌系統

時滯混沌系統即具有混沌運動的時滯系統。時滯系統是系統中一處或幾處的信號傳遞有時間延遲的系統。所謂混沌是指具有以下特點的一類現象：由確定性產生；具有有界性；具有非周期性；初始條件具有極端敏感性。

基本介紹

• 中文名：時滯混沌系統
• 外文名：Time-delay chaotic system                    
• 學科：控制科學與工程
• 類別：時滯系統、混沌系統
• 基本釋義：具有混沌運動的時滯系統
• 典型系統：Mackey-Glass系統

基本概念

時滯系統是系統中一處或幾處的信號傳遞有時間延遲的系統。對於一個具體控制系統，時滯可能由測量元件或測量過程造成，也可能由控制元件和執行元件造成，或者由它們共同造成。嚴格地說，控制系統中時滯是普遍存在的，只有大小的不同。時滯系統是指時滯不能忽略的系統。所謂混沌是指具有以下特點的一類現象：由確定性產生；具有有界性；具有非周期性；初始條件具有極端敏感性。

時滯混沌系統即具有混沌運動的時滯系統，由於時滯混沌系統為無窮維系統，具有更加複雜的動力學行為，因而系統正的Lyapunov指數的個數不再局限於系統的維數。能夠產生多於維數的正的Lyapunov指數。因此，將時滯混沌系統引入混沌套用研究在避免增加系統維數的同時可以極大地提高混沌系統的複雜性。

時滯系統

在工程中．許多動力系統可由狀態變數隨時問演化的微分方程來描述。隨著混沌研究的不斷深入，研究人員發現相當一部分動力系統的狀態變鼉之間存在時間滯後現象，即系統的演化趨勢不僅與系統當前的狀態相關，而且還與過去某一時刻或若干時刻的狀態有關。於是將這類動力學系統通稱為時滯動力學系統。

時滯動力學系統已經不能簡單的用微分方程描述，其數學模型是時滯微分方程(Delay Differential Equations)。假設具有時滯的連續微分動力系統為：

對於上述微分方程，其初始條侔要在初始一段時間上給出，一般由定義在的連續可微函式確定，系統在t>0後的行為不僅依賴於初始時刻的狀態，而且與時間段的運動有關，因此時滯系統的空間解是無窮維的。與常微分方程比較可知，當=0時．時滯微分方程退化為常微分方程。由於時滯微分方程不等於0，使得時滯對系統的動態特性比常微分方程系統的更加複雜，有著更加豐富的動力學行為。

判斷

混沌是非線性動力學系統中一種確定性的、類似隨機的過程。由耗散系統產生。一個系統是否是混沌的．可通過觀察其捅圖、時間序列圖和求解該系統的Lyapunov指數是否有正值川等方面來分析。常規低維的混沌系統通常正的Lyapunov指數個數較少，但在系統複雜性方面不強。多個正的Lyapunov指數的超混沌系統。雖然可大大提高混沌信號的隨機性和不可預測性。但對於非時滯系統正的Lyapunov指數增加，會使系統維數及結構變得複雜，增加同步的難度。和普通的常微分方程動力學系統不同，時滯動力學系統由於自身的時滯特性，使其解空間具有無限維．使得系統具有豐富的動力學行為。即使一階非線性時滯動力系統也可以產生混沌現象。由於時滯混沌系統為無窮維系統，具有更加複雜的動力學行為，因而系統正的Lyapunov指數的個數不再局限於系統的維數。能夠產生多於維數的正的Lyapunov指數。因此，將時滯混沌系統引入混沌套用研究在避免增加系統維數的同時可以極大地提高混沌系統的複雜性。

在工程中，許多動力系統可由狀態變數隨時問演化的微分方程來描述。隨著混沌研究的不斷深入，研究人員發現相當一部分動力系統的狀態變數之還與過去某一時刻或若干時刻的狀態有關。於是將這類動力學系統通稱為時滯動力學系統。

如何判斷一個時滯系統是否處於混沌運動狀態，接下來從常用混沌特性分析方法推廣到時滯系統，從下述五個方面來分析判斷混沌運動：

（1）時間歷程圖

對時滯微分方程進行數值計算，畫出解狀態變數隨時間t變化的時間歷程圖，混沌系統隨時間變化的圖是貌似隨機的。

（2）初值敏感性測試圖

對拐始值作微小的擾動，穩定系統的初值擾動不明顯；無界系統的初值擾動則會無限放大；而混沌系統的初值微小擾動後的軌道上的點與原軌道上的對應點之間的距離在一段時間內呈指數放大，由於混沌運動的有界性，之後距離就會呈隨機振動。

（3）相圖

利用數值計算結果，作出相軌跡隨時問t面變化軌線。如果在相空間中，出現閉軌線則系統存在周期解；當經過無數個循環，無法獲得封閉軌線，則系統可能產生混沌運動，出現吸引子。

（4）功率譜分析

可以通過決定系統長期演化的任一單變數時間序列來研究系統的混沌行為，對其在頻域上進行研究。如果出現連續功率譜，則可認為出現混沌。

（5）Lyapnov指數

判斷系統是否是混沌的重要的定量方法為是否有正的Lyapunov指數。Lyapunov指數是反映動力學系統特性的一個重要定量指標，它表明了在相空間中系統相鄰軌道間收斂或發散（分離）的長期平均指數率翻。對時滯動力系統，其初始條件為連續函式，因此其Lyapunov指數與作為初始條件的連續函式有關。定義在初始時間段的連續函式是不可數的，那么系統的Lyapunov指數的個數也是不可數的。計算時滯動力系統的Lyapunov指數是複雜的工作。在計算過程中，還可能出現奇異情況而使得結果不準確。實際上判斷系統是否混沌，只要最大Lyapunov指數大於零就可以作為混沌存在的一個可靠依據。

控制和同步

混沌控制和同步是當前自然科學研究的熱門課題之一。混沌控制是指混沌的控制與誘導，混沌同步意味著某一系統的軌跡（漸近）收斂於另一系統，並相互保持持續一致。

混沌控制

從實現控制的目標劃分，混沌控制可以歸納為兩大類。

第一類是基於在混沌奇怪吸引子閉包記憶體在無窮多不穩定的周期軌道，控制的目標是根據人們的意願在這些軌道中選擇一條滿足要求的周期軌道並進行有效的穩定控制，該控制的特點是並不產生新的周期軌道而只是將軌道固定。這類控制的優點是可以把系統從混沌狀態控制在任意指定的周期軌道上，而且不改變系統的結構，具有良好的軌道跟蹤能力和穩定性。缺點是要有一個目標函式或給定軌道，實現起來比較困難。

第二類控制則沒有具體的控制目標，也不關心被控系統的終態是否為周期運動，只是通過合適的策略、方法及途徑，有效抑制混沌行為，使Lyapunov指數下降進而消除混沌。它是通過系統的控制獲得人們所需的新的動力學行為，包括各種周期態及其他圖樣等。這類控制的優點是設計簡單，不需特定軌道，易於實現。缺點是無法確保控制過程的穩定性。

混沌同步

經過十多年的發展，混沌同步領域提出了不少的方法。目前提出的幾種混沌同步方法有驅動一回響同步法、主動一被動分解法、相互耦合法、變數反饋微擾同步法、自適應同步法等。

混沌驗證

時滯混沌系統最典型一個的例子就是Mackey-Glass系統：

其中參數a=0.2，b=0.1，c=10，時滯 =16.8時M-G系統是混沌的，且正的Lyapunov指數個數隨時滯的增長而增加。如時滯f=300時，正的Lyapunov指數個數接近15。從以上系統說明，時滯混沌系統可以通過極簡單結構產生具有極高隨機性和不可預測性的時間系列．這正是信息保密安全通信所需要的特徵。

選取系統參數a=0.2，b=0.1，c=10，時滯 =23，此時Mackey-Glass系統處於混沌狀態。從定性的角度畫出系統的時間歷程圖、初值敏感性測試圖和相圖。對系統初步判斷，然後從定量的角度進行功率譜分析，計算出最大Lyapunov指數來判斷Mackey-Glass系統是否處於混沌運動狀態。

首先選取初始函式為 ，捨去前面300個暫態點，得到解z隨時間t的變化波形如圖1(a)。然後進行初值敏感性測試，圖1(b)為對初始函式加 擾動的x值波形，子圖(c)為它們的差值。可以看出經過一段時間後其差值呈隨機振動，這就是可能存在正Lyapunov指數作用的結果。

圖1

選取同上條件得到 兩個平面上的相圖如圖2所示，對系統進行頻域上進行研究，得到如圖3的功率譜圖。

綜合觀察上圖可知。系統出現混沌現象且可能存在著吸引子。估算出最大Lyapunov指數為0.0095，大於0，從定性和定量的角度都說明了該系統是時滯混沌系統。

圖2

圖3

時滯混沌系統具有極簡單結構卻複雜的動力學特性。將其引入混沌套用研究，首先分析時滯混沌系統的混沌特性是十分重要。以Mackey-Glass系統作為研究對象，在非線性動力學系統的混沌特性判斷基礎上，從時間歷程圖、初值敏感性測試圖、相圖、功率譜分析圖和Lyapunov指數的五個方面探討了時滯混沌系統的混沌特性分析方法，通過實驗仿真說明這種分析來研究時滯動力系統的混沌狀態是切實可行的。