《星型哈密頓能量面上的周期軌道》是依託武漢大學，由劉會擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：星型哈密頓能量面上的周期軌道
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：劉會
- 依託單位：武漢大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
給定能量面上的周期軌道(稱之為閉特徵)是哈密頓動力系統中重要的研究對象。緊星型超曲面上閉特徵的多重性和穩定性還有許多未解決的問題,它們也是動力系統、辛幾何、非線性分析等數學領域關心的重要問題。本項目主要研究緊星型超曲面上閉特徵的多重性和穩定性：當n大於2時，2n維歐式空間中緊星型超曲面上是否至少存在兩個幾何不同的閉特徵；什麼情形下存在橢圓的閉特徵；利用Maslov型指標與其疊代理論，能否得到更好的閉特徵數目下界估計；當緊星型超曲面是對稱時，以上問題會得出何種結果。對於閉特徵，建立類似於閉測地線研究中的Hingston定理，並結合近期建立的緊星型超曲面上閉特徵的共振恆等式進一步考慮閉特徵問題。此外，本項目還將利用Floer同調及切觸同調的方法，並從微分動力系統、拓撲動力系統和遍歷理論的角度去考慮閉特徵問題。
結題摘要
緊星型超曲面上閉特徵的多重性和穩定性是動力系統、辛幾何、非線性分析等數學領域關心的重要問題，許多著名的數學家都研究過這一重要課題，在研究過程中產生了一些著名的猜想，發展了新的數學理論和方法。本項目是基於近期我們對緊星型超曲面上的閉特徵問題取得了新的進展的背景下提出的，即：我們對閉特徵建立了新的共振恆等式，並證明了4維歐式空間中任意緊星型超曲面上至少存在兩個幾何不同閉特徵。本項目主要研究當n大於2時，2n維歐式空間中緊星型超曲面上是否至少存在兩個幾何不同的閉特徵；什麼情形下存在橢圓的閉特徵；利用Maslov型指標與其疊代理論，能否得到更好的閉特徵數目下界估計；當緊星型超曲面是對稱時，以上問題會得出何種結果。關於這些問題我們最近三年取得了豐碩的成果，特別是我們對兩類緊星型超曲面上的閉特徵數目下界得到了好的估計，即：動力凸超曲面和指標完美超曲面；結合共振恆等式、Hingston類型定理和Floer同調及切觸同調證明了當4維歐式空間中對稱緊星型超曲面上恰好存在兩個幾何不同閉特徵時，它們都是無理橢圓的；在研究過程中產生的新方法對芬斯勒實射影空間上非可縮閉測地線的多重性研究起到良好的促進作用，特別是我們證明了任意n維實射影空間上賦予bumpy芬斯勒度量下至少存在兩條非可縮閉測地線。本項目共發表論文11篇，其主要研究成果發表在國際著名的數學期刊上。本項目為我們進一步研究一般切觸流形上Reeb流的閉軌道問題打下了堅實的基礎，促進了哈密頓動力系統相關課題的研究。
