數據缺損下的矩陣低秩逼近方法及其套用

《數據缺損下的矩陣低秩逼近方法及其套用》是依託浙江大學，由張振躍擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：數據缺損下的矩陣低秩逼近方法及其套用
• 依託單位：浙江大學
• 項目負責人：張振躍
• 項目類別：面上項目

項目摘要

矩陣低秩逼近是一個套用非常廣的數據分析工具，在部分矩陣元素缺損下的矩陣低秩逼近與數據完全下的矩陣矩陣低秩逼近具有非常大的差異性，在最優模型的設計、最優解的確定性和穩定性、數值算法的構建和分析上面臨許多困難。這一課題具有重要的研究意義和廣泛的套用價值，非常值得進一步的深入研究。本項目研究數據缺損下的矩陣低秩分解問題，包括最優模型問題的多解性和穩定性理論分析、正則化和約束模型修正、約束修正最優問題的數值算法的改進及收斂分析、非負低秩逼近及Dantzig-Wolfe算法修正、低秩分解因子的參數化流形約束、協同過濾問題的新模型及數值方法，以及多端協同過濾問題的建模與算法研究。我們的目標是完善數據缺損下矩陣低秩逼近問題的研究，包括穩定性理論分析、最優模型的建立和快速有效的數值算法。同時也尋求研究成果在圖像處理、信息數據分析、網路商務服務以及多端互動關係分析中的實際套用。

結題摘要

本項目研究數據缺損下的矩陣低秩分解及其相關問題。我們在最優模型問題的多解性穩定性理論、正則化策略和方法及其數值算法與分析、低秩分解的非線性流形約束、非線性流形的自適應方法、多源數據的降維模型設計與計算，以及稀疏恢復新方法及其理論等方面，作了一系列比較深入的研究成果，取得了一些主要進展和重要成果。正式發表了7篇高質量的研究論文並完成3篇在審論文。其中5篇論文在IEEE最好的刊物TPAMI和頂尖的Top刊物 PR和J MLR上發表或接受評審。分別在全國計算數學2011年會和數學會2013學術年會作邀請報告。主要成果有： 我們豐富完善了基本模型問題的不適定性理論分析, 提出了有創新性的元素約束正則化和引導正則化思想及快速數值算法，分別解決中等和高程度元素缺損的矩陣低秩逼近問題。提出了一個新穎的數據降維模型，在恢復大尺度下線性結構的同時，保持數據的局部非線性結構。這一模型有很好的逼近性，全局最優解和其解析表示式，並可通過直接方式或疊代方式求得最優解。提出了有效鄰域的選取準則與及其自適應算法，以及局部流形曲率的修正降維模型，從兩方面改善了原有流形降維方法，增強了在具有不同特性、不同來源背景的實際數據中的有效性。我們提出了非線性降維方法和全局精化方法，解決解決低解析度圖像的高清晰重構，改善重構高解析度圖像的質量。我們用一種創新的方法研究非線性光滑向量函式的本質特性，提出了奇異曲線流研究方法，並發現了類似於決定生物特性的DNA特徵：串聯這些奇異點的兩條臨界曲線，在奇異點附近的兩種基本配對構成的互補性，決定了奇異流的三種奇異現象: 推離、繞行，以及單向吸引。對多源數據，我們提出了多源數據的一致性MDS模型以及子空間疊代和子空間擴張算法，以解決新模型涉及的一個非凸非線性特徵值這個比較困難的計算問題。我們在稀疏恢複方面，提出了一個具有創新性的移動凸包方法。這一方法完全擺脫了傳統的L_1最佳化模式，在理論上和數值計算上都展現了比L_1最佳化方法更優越的特點。我們詳細討論了這個移動凸包方法MoCH的實際實施性問題，提出了兩種數值算法並證明了其收斂性，以及局部凸包的移動策略與算法。在多個實際套用中，MoCH效果最理想。