數學物理方法與仿真（第3版）

內容簡介

本書系統地闡述了複變函數論、數學物理方程的各種解法、特殊函式以及計算機仿真編程實踐等內容，對培養思維能力和實踐編程能力具有指導意義。本書在取材的深度和廣度上充分考慮到前沿學科領域知識內容，形成了具有前沿學科特點的數學物理方法與計算機仿真相結合的系統化理論體系。本書結構層次清晰，理論具有系統性和完整性，重點立足於對思維能力的培養，加強計算機仿真能力的訓練，分別介紹了複變函數、數學物理方程和特殊函式的計算機仿真求解及其解的仿真圖形顯潤犁欠示。習題解答和仿真程式等可以通過網路下載。本書可作為物理學、地球物理學、電子信息科學、光通信技術、空間科學、天文學、地質學、海洋科學、材料科學等學科領域的理工科大學本科教材，也可供相關專業的研究生、科技工作者仔懂您棕作為參考資料並殼精茅進行計算機仿真訓練。

圖書目錄

第一篇複變函數

第1 章複數與複變函數..................... 3

1. 1 複數概念及其運算..................... 3

I. I. 1 複數概念…….................……. 3

I. 1. 2 複數的基本代數運算............... 4

1. 2 複數的表示.........….................. 4

I. 2. 1 複數的幾何表示..............…… ·4

1. 2. 2 複數的三角表示.......…........... 6

I. 2 3 複數的指數表示….................. 6

1.2.4 共輒複數…........….........…… ·7

1.2.5 復球面、元窮遠點........….......... 7

1. 3 複數的乘幕與方根…...... … 8

I. 3 1 複數的乘罪.......................…. 8

I. 3. 2 複數的方根..............….......... 9

I. 3. 3 實踐編程：正十七邊形夜請鞏牛的幾何作圖法.............................. 10

1. 4 區域…........……................... 11

I. 4 1 基本概念…......... …… 11

I. 4. 2 區域的判斷方法及實例分析…… 14

1. 5 複變函數........……………....... 14

I. 5 1 複變函數概念….................. 14

I. 5. 2 複變函數的兒何意義一一映射… 15

1. 6 複變函數的極限........……....... 16

I. 6. 1 複變函數極限概念.................. 16

I. 6. 2 複變函數極限的基本定理…… 17

1. 7 複變函數的連續........……....... 18

I. 7. 1 複變函數連續的概念............... 18

I. 7. 2 複變函數連續的基本定理…… 18

1. 8 典型綜合實例……...............… 19

小結..............…............................ 23

習題1 …........... ........ …… 25

計算機仿真編程實踐……...............… 26

第2 章解析函式........................... 28

2. 1 複變函數導數與微分….…… 28

2 1 1 複變函數的導數…..............…. 28

2. 1. 2 複變函數的微分概念............... 30

2 1 3 可導的必要條件..................... 30

2. 1. 4 可導的槓埋拔充分必要條件............... 32

2 1 5 求導法則…… ........ …. 33

2. 1. 6 複變函數糊講導數的幾何意義......... 34

2.2 解析函式…妹您罪…… ........ …. 35

2 2. 1 解析函式的概念……............... 35

2. 2. 2 解析函式的法則..................... 36

2.2.3 函式解析的充分必要條件......... 37

2.2.4 解析函式的幾何意義（映射的

保角性） ….......….............. 39

2.3 初等解析函式........................ 40

2. 3. 1 指數函式（單值函式） ............... 40

2. 3. 2 對數函式一一指數函式的

反函式（多值函式） .......…........ 41

2.3.3 三角函式（單值函式） ............... 43

2. 3.4 反三角函式（多值函式）…......... 45

2.3.5 雙曲函式（單值函式） ............... 46

2. 3. 6 反雙曲函式（多值函式）….…. 47

2.3. 7 整幕函式z"（單值函式）…......... 47

2.3.8 一般辱函式與根式函式w=':fi

（多值函式）………............... 48

·2. 3. 9 多值函式的基本概念…… …. 49

2.4 解析函式與調和函式的關係…… 51

2.4. 1 調和函式與共輒調和函式的概念…........……................ 51

2.4.2 解析函式與調和函式之間的關係…........……................ 51

2.4.3 解析函式的構建方法…… …. 52

2.5 解析函式的物理意義平面矢量場………......... …. 53

2. 5. 1 用解析函式表述平面矢量場...... 53

2. 5. 2 靜電場的復勢..................... 54

2.6 典型綜合實例.............…........ 56

小結…·........... ........ …… 58

習題2 ................….............…....... 59

計算機仿真編程實踐......... …… ω

第3 章複變函數的積分...............… 61

3. 1 複變函數積分及性質….........… 61

3. 1. 1 複變函數積分的概念............... 61

3. 1. 2 復積分存在的條件及計算方法… 62

3. 1. 3 復積分的基本性質.................. 62

3. 1.4 復積分的計算典型實例.......….. 63

3. 1. s 複變函數環路積分的物理意義... 64

3.2 柯西積分定理及其套用.........… 65

3 2 1 柯西積分定理………….. 65

3.2.2 不定積分…........….........…. 66

3. 2 3 典型套用實例………….. 68

3. 2.4 柯西積分定理（柯西古薩定理）的物理意義.................. 68

3.3 基本定理的推廣一一複合閉路定理…................................. 69

3.4 柯西積分公式........................ 72

3. 4.1 有界區域的單連通柯西積分公式................….............. 72

3.4.2 有界區域的復連通柯西積分公式................................. 73

3.4.3 元界區域的柯西積分公式......... 74

3.5 柯西積分公式的幾個重要推論… 76

3. 5.1 解析函式的元限次可微性（高階導數公式）………… …… 76

3.5.2 解析函式的平均值公式…......... 78

3.5 3 柯西不等式......... …… 78

3.5.4 劉維爾定理........................ 79

3.5 s 莫勒納定理.......….............. 79

3.5.6 最大模原理.......….............. 79

3.5 7 代數基本定理….................. 80

3.6 典型綜合實例.............…........ 80

小結............................................. 85

習題3 …........... ........ …… 86

計算機仿真編程實踐………............... 88

第4 章解析函式的冪級數表示…… 89

4. 1 複數項級數的基本概念…......... 89

4. 1 1 複數項級數概念….................. 89

4. I. 2 複數項級數的判斷準則和定理… 89

4.2 複變函數項級數..................... 91

4.3 冪級數................................. 93

4 3. 1 冪級數概念........….........…. 93

4. 3. 2 收斂圓與收斂半徑…… …. 94

4 3 3 收斂半徑的求法..................... 95

4.4 解析函式的泰勒級數展開式…… 98

4.4. 1 泰勒級數…........................ 98

4.4.2 將函式展開成泰勒級數的方法… 99

4.5 羅朗級數及展開方法............... 100

4. s. 1 羅朗級數…........…….......... 100

4. s. 2 羅朗級數展開方法實例......... 103

4.5.3 用級數展開法計算閉合環路積分..............…........….. 105

4.6 典型綜合實例.........…........…. 105

小結.........….............................. 108

習題4 ..................……........……. 110

計算機仿真編程實踐................….. 112

第5 章留數定理………·…….. 113

5. 1 解析函式的孤立奇點............... 113

s. I. 1 孤立奇點概念.................…. 113

s. I. 2 孤立奇點的分類及其判斷定理…….......…………….. 113

5.2 解析函式在元窮遠點的性質….. 117

5.3 留數概念........….......…......... 118

5.4 留數定理與留數和定理…......... 120

5.5 留數的計算方法..................... 121

s. s. 1 有限遠點留數的計算方法.….121

5.5.2 元窮遠點的留數計算方法......... 123

5.6 用留數定理計算實積分.........… 125 ,,.

5. 6. 1 / R( cos8 ,sin8) d8 型裂分…… 125

5 6 2 I 一一一出型積分….......….. 127

5.6.3 r:f(x）型積分..............…….......... 128

5.6.4 其他類型（積分路徑上有奇點）的識分計算舉例................….. 130

5. 7 典型綜合實例……… … ….. 132

小結.............….......................... 136

習題5 …..........…….........…........ 137

計算機仿真編程實踐……............... 139

第6 章保角映射…........................ 140

6. 1 保角映射的概念……............... 140

6.2 分式線性映射........................ 141

6.2.1 分式線性映射的概念…......... 141

6.2.2 兩種基本映射……............... 142

6.2.3 分式線性映射的性質........…. 143

6.2.4 分式線性映射的確定及套用…… 145

6.2.5 三類典型的分式結性映射......... 148

6.3 幾個初等畫數所構成的映射…… 150

6. 3. 1 幕函式映射........…........….. 150

6.3.2 指數函式w=e' 映射…………… 151

·6. 3. 3 儒可夫斯基函式映射.... ...….. 152

6.4 典型綜合實例........…….......… 153

小結.............………...............….. 156

習題6 .............…... .....…..... ..….. 157

計算機仿真編程實踐................….. 158

第一篇複變函數論全篇總結框圖…… 158

第一篇綜合測試題........................ 159

第二篇數學物理方程

第7 章數學建模一一散學物理定解問題........……................… 162

7. 1 數學建模一一波動方程類型的建立.................…................ 163

7. 1.1 被動方程的建立……………… 163

7. 1. 2 波動方程的定解條件…......... 169

7.2 數學建模一一熱傳導方程類型的建立.................…................ 171

7.2.1 數學物理方程一一熱傳導類型方程的建立…….......…………….. 171

7.2.2 熱傳導（或擴散）方程的定解條件…….......…………….. 174

7.3 數學建模一一穩定場方程類型的建立.................................... 175

7. 3.1 穩定場方程類型的建立......... 175

7.3.2 泊松方程和拉普拉斯方程的定解條件................…........ 176

7.4 數學物理定解理論…….......….. 177

7.4.1 定解條件和定解問題的提法…… 177

7.4.2 數學物理定解問題的適定性…… 178

7.4.3 數學物理定解問題的求解方法… 178

7.5 典型綜合實例........................ 178

小結…....................................... 181

習題7 ….................................... 181

計算機仿真編程實踐…….......…….. 182

第8 章二階線性偏微分方程的分類..............…................ 183

8. 1 基本概念...............….......….. 183

8. 2 數學物理方程的分類……......... 184

8. 3 二階線性偏微分方程標準化…… 187

8.4 線性偏微分方程解的特徵......... 190

8. 5 典型綜捨實例........................ 191

小結…..........………...............….. 192

習題8 ...................…................. 193

計算機仿真編程實踐……............... 193

第9 章行波法與達朗貝爾公式......... 194

9.1 二階線性偏微分方程的通解…… 194

9. 2 二階線性偏微分方程的行波解........... .. .... … ... ..... … .. 195

9.3 達朗貝爾公式........…….......... 196

9. 3.1 一維波動方程的達朗貝爾公式…….......…………….. 196

9.3.2 達朗貝爾公式的物理意義……… 197

9.4 達朗貝爾公式的套用……......... 197

9.4. 1 齊次偏微分方程求解........…. 197

9.4.2 非齊次偏微分方程的求解……… 200

9. 5 定解問題的適定性驗證.........… 201

9. 6 典型綜合實例… .. .... .... ... ... ... .. 202

小結................…........….......….. 205

習題9 .......…......... .....….... ...….. 206

計算機仿真編程實踐................….. 206

第10 章分離變數法...... .... .. .... ... .. 207

10.1 分離變數理論................….. 207

10. 1. 1 偏微分方程變數分離及條件… 207

10. 1. 2 邊界條件可實施變數分離的條件…….......…………….. 208

10.2 直角坐標系下的分離變數法… 208

10. 2.1 分離變數法介紹……………… 208

10.2.2 解的物理意義………………… 211

10.2.3 二維形式的直角坐標分離變數…........……….......... 212

10.2.4 直角坐標系分離變數例題分析..............….........…. 213

10.3 二維極坐標系下拉普拉斯方程的分離變數法............... 217

10.4 球坐標系下的分離變數法…… 219

10.4. 1 拉普拉斯方程也= O 的分離變數（與時間無關） .......... 219

10.4.2 與時間有關的方程的分離變數…….......…………….. 221

10.4.3 亥姆霍茲方程的分離變數…… 222

10.5 柱坐標系下的分離變數......... 223

10. 5.1 與時間元關的拉普拉斯方程分離變數…….......…………….. 223

10.5.2 與時間相關的方程的分離變數…….......…………….. 225

10.6 非齊次三階線性偏微分方程的解法................................. 225

10. 6.1 1自松方程非齊次方程的特解法.......................…….. 225

10.6.2 非齊次偏微分方程的傅立葉級數解法.......…………….. 227

10. 7 非齊次邊界條件的處理……… 229

10.8 典型綜合實例.........…......... 231

小結.......................................... 235

習題10 ……….............................. 237

計算機仿真編程實踐……............... 239

第11 章冪級數解法一一本徵值問題........……................ 240

11. 1 二階常微分方程的事級數解法…...............….......….. 240

11. 1.1 幕級數解法理論概述.......….. 240

11. 1. 2 常點鄰域上的事級數解法（勒讓德方程的求解）…......... 241

11. 1. 3 奇點鄰峨的級數解法（貝塞爾方程的求解） ..............……. 243

11. 2 施圖姆－劉維爾本徵值……… 246

11.2.1 施圖姆－劉維爾本徵值問題…… 246

11. 2. 2 施圖姆－劉維爾本徵值問題的性質…….......…………… .. 247

11.2.3 廣義悻里葉級數..............…. 249

11. 2.4 複數的本徵函式族… … … …… 249

11. 2. 5 希爾伯特空間矢量分解......... 250

11. 3 綜合實例.........….........…… 250

小結.............….......................… 251

習題11 ........……......................... 252

計算機仿真編程實踐. . ... ..... ... ... … .. 252

第12 章格林函式法................….. 253

12. 1 格林公式….... . ....…..... .. ….. 253

12.2 解泊松方程的格林函式法…… 253

12.3 元界空間的格林函式基本解… 256

12. 3. 1 三維球對稱情形……………… 257

12.3.2 工維軸對稱情形.................. 257

12.4 用電像法確定格林函式. ... ... .. 258

12.4. 1 上半平面區域第一邊值問題的格林函式構建方法…………… 259

12.4.2 上半空間內求解拉普拉斯方程的第一邊值問題.................…. 260

12.4.3 圓形區域第一邊值問題的格林函式構建.... . ..……………. . 261

12.4.4 球形區域第一邊值問題的格林函式掏建........……………. 262

12.5 典型綜合實例..................... 264

小結……..............…… ... ... … …… . 265

習題12 .............….......…........….. 266

計算機仿真編程實踐. . ..... ... ... ... …. . 267

第13 章積分變換法求解定解問題… 268

13. 1 傅立葉變換及性質……......... 268

13. 1. 1 傅立葉變換………………… 268

13. 1. 2 廣義儒里葉變換……………… 269

13. 1. 3 傅立葉變換的基本性質……… 271

13.2 拉普拉斯變換及性質.......….. 276

13.2. 1 拉普拉斯變換………..... .. ….. 276

13.2.2 拉普拉斯變換的性質.......….. 278

13.2.3 拉普拉斯變換的反演…......... 281

13. 3 傅立葉變換法解數學物理定解問題........…...................... 283

13.3.1 弦振動問題........….......… 284

13.3.2 熱傳導問題….......…........ 285

13.3.3 穩定場問題……............... 286

13.4 拉普拉斯變換解定解問題........…................ 288

13.4. 1 元界區域的問題…............... 288

13.4.2 半元界區域的問題…………… 288

小結…….................................….. 290

習題13 ........….................…........ 292

第14 章保角變換法求解定解問題… 294

14. 1 保角變換與拉普拉斯方程邊值問題的關係........................ 294

14. 2 保角變換法求解定解問題典型實例….................…………. 295

習題14 .................…….. ......…….. 299

第15 章戴學物理方程綜述............ 300

15. 1 線性偏微分方程解法綜述… … 300

15.2 非線性偏微分方程….......….. 301

15. 2.1 孤立波…...........…………….. 302

15.2.2 衝擊波….......…………….. 303

小結.....................................….. 304

第二篇綜合測試題… . . ... .. . . . ... . .. … . . 305

第三篇特殊函式

第16 章勒讓德多項式－一球函式… 308

16. 1 勒讓德方程及其解的表示…… 308

16. 1. 1 勒讓德方程、勒讓德多項式…… 308

16. 1. 2 勒讓德多項式的表示………… 308

16.2 勒讓德多項式的性質及其套用...............…............... 311

16. 2.1 勒讓德多項式的性質………… 311

16.2.2 勒讓德多項式的套用（廣義得墾葉級數展開）…………… 313

16.3 勒讓德多項式的生成函式（母函式） ........…................ 315

16. 3.1 勒讓德多項式的生成函式的定義…….......…………….. 315

16.3.2 勒讓德多項式的遞推公式…… 316

16.4 連帶勒讓德函式.............….. 318

16.4. 1 連帶勒讓德函式的定義……… 318

16.4.2 連帶勒讓德函式的微分表示… 319

16.4.3 連帶勒讓德函式的積分表示… 320

16.4.4 連帶勒讓德函式的正交關係與模的公式…….......…........ 320

16.4.5 連帶勒讓德函式一一廣義傅立葉級數..............…….......... 320

16.4.6 連帶勒讓德函式的遞推公式… 321

16.5 球函式…….......….........….. 321

16. 5.1 球函式的方程及其解………… 321

16.5.2 球函式的正交關係和模的公式........….........…. 322

16.5.3 球面上函式的廣義傅立葉級數……............... 323

16.5.4 拉普拉斯方程的非軸對稱定解問題…….... . ..……………. . 324

16.6 典型綜合實例. . ... .. . ... . . . .. … .. 325

小結…….............. …… … ... ... .….. 328

習題16 …….................……………. 331

計算機仿真編程實踐................….. 331

第17 章貝塞爾函式................….. 332

17. 1 貝塞爾方程及其解……......... 332

17. 1. 1 貝塞爾方程……............... 332

17. 1. 2 貝塞爾方程的解…….... . . . …. . 333

17.2 三類貝塞爾函式的表示式及性質………..........….........…. 333

17.2. 1 第一類貝塞爾函式…………… 333

17.2.2 第二類貝塞爾函式…………… 335

17. 2. 3 第三類貝塞爾函式........……. 335

17.3 貝塞爾函式的基本性質......... 336

17. 3. 1 貝塞爾函式的遞推公式……… 336

17.3.2 貝塞爾函式與本徵值問題…… 338

17.3.3 貝塞爾函式的正交性和模… … 340

17.3.4 廣義德里葉－貝塞爾級教… … … 341

17.3.5 貝塞爾函式的母函式（生成函式） …..........….........…. 342

17.4 虛宗量貝塞爾方程及其解…… 343

17.4. 1 虛宗量貝塞爾方程的解……… 343

17.4.2 第一類虛宗量貝塞爾函式的性質......................…….. 344

17.4.3 第二類虛宗量貝塞爾函式的性質…........………………. 345

17.5 球貝塞爾方程及其解…......... 345

17. 5.1 球貝塞爾方程….......…........ 345

17.5.2 球貝塞爾方程的解…………… 345

17.5.3 球貝塞爾函式的級數表示…… 346

17.5.4 球貝塞爾函式的遞推公式…… 346

17.5.5 球貝塞爾函式的初等函式表示式…........…........….. 346

17.5.6 球形區域內的球貝塞爾方程的本徵值問題…………… 347

17. 6 典型綜合實例..................... 348

小結................…........….......….. 350

習題17 …........…………….........…. 352

討算機仿真編程實踐................….. 353

第三篇綜合測試題.... . .... … . ... ... …. . 353

第四篇計算機仿真與實踐

第18 章計算機仿真在複變函數中的套用..............….........…. 355

18. 1 複數運算和複變函數的圖形… 355

18. 1. 1 複數的基本運算…........……. 355

18. 1. 2 複數的運算..............……. 355

18. 1. 3 複變函數的圖形..............…. 357

18.2 複變函數的極限與導數、解析函式..............…................ 360

18. 2.1 複變函數的極限……………… 360

18.2.2 複變函數的導數……........…. 361

18.2.3 解析函式.......…………….. 361

18.3 復變畫數的積分與留數定理… 362

18. 3.1 非閉合路徑的積分計算……… 362

18.3.2 閉合路徑的積分計算…......... 362

18.4 復變畫數級數….......…........ 364

18.4. 1 複變函數級數的收斂半徑.........….........… 364

18.4.2 單變數函式的泰勒級數展開… 365

18.4.3 多變數函式的泰勒級數展開… 366

18.5 傅立葉變換及其逆變換......... 367

18.5. 1 傅立葉積分變換.......…........ 367

18.5.2 傅立葉逆變換.................…. 368

18.6 拉普拉斯變換及其逆變換…… 368

18. 6.1 拉普拉斯變換..............……. 368

18.6.2 拉普拉斯逆變換..............…. 369

計算機仿真編程實踐……............... 370

第19 章數學物理方程的計算機仿真求解.............................. 371

19. 1 用偏微分方程工具箱求解偏微分方程.........….......….. 371

19. 1. 1 用GUI 解PDE 問題………… 371

19. 1. 2 計算結果的可視化…........…. 372

19.2 計算機仿真編程求解偏微分方程................................. 374

19.2. 1 雙曲型：波動方程的求解......... 374

19.2.2 拋物型：熱傳導方程的求解…… 377

19.2.3 橢圓型：穩定場方程的求解…… 379

19.2.4 點源泊松方程的適應解……… 381

19.2.5 亥姆霍茲方程的求解………… 382

19.3 定解問題的計算機仿真顯示… 383

19. 3.1 波動方程解的動態由示……… 384

19.3.2 熱傳導方程解的分布…......... 385

19.3.3 1自松方程解的分布…………… 386

19. 3.4 格林函式解的分布............... 387

19. 3. 5 本徵值問題中本徵函式的收斂及其分布......................…….. 388

討算機仿真編程實踐..................... 389

第20 章特殊函式的計算機仿真套用……........…........….. 390

20.1 連帶勒讓德函式、勒讓德多項式、球函式..............……………. 390

20. 1. 1 連帶勒讓德函式……………… 390

20. 1. 2 勒讓德多項式................….. 390

20. 1. 3 球函式..............…………. 391

20. 1.4 勒讓德多項式的母函式圖形… 391

20.2 貝塞爾畫數（柱函式）及其性質….........….......….. 392

20. 2.1 貝塞爾函式及仿真........……. 392

20.2.2 虛宗量貝塞爾函式............... 394

20.2.3 球貝塞爾函式的圖形………… 394

20.2.4 平面被用柱面波形式展開…… 395

20. 2.5 定解問題的圖形顯示….... . .... 396

20.3 其他特殊函式…… .... .... ....... 397

計算機仿真編程實踐.........… .. ....... 397

第21 章數學物理方法仿真實踐…… 398

21. 1 複變函數仿真實踐.... .....…… 398

21. 2 數學物理方程仿真實踐......... 400

21. 2. 1 基模高斯光束的傳輸特性仿真………................… .. 400

21. 2. 2 光子晶體中本徵值問題的仿真…….......…………….. 403

21. 3 特殊函式套用仿真實踐一一布拉格光纖光傳輸特性仿真… 405

參考文獻.................... . ........... .... 410

數學物理方法與仿真（第3版）

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