《擬愛因斯坦度量及相關問題》是依託南昌大學，由付海平擔任項目負責人的地區科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：擬愛因斯坦度量及相關問題
- 項目類別：地區科學基金項目
- 項目負責人：付海平
- 依託單位：南昌大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目的目標是拓廣整體黎曼幾何方法來研究光滑測度空間。此空間作為Ricci流奇點模型存在。重點研究具有Bakry-Emery Ricci張量下界的和擬愛因斯坦度量的光滑測度空間的幾何與拓撲。Bakry-Emery Ricci曲率是光滑測度空間的Ricci曲率重要拓廣，更重要，它在研究Ricci孤立子、擴散過程、對數Sobolev不等式、擬愛因斯坦度量中占有重要地位。運用拓廣經典整體幾何方法、函式理論和幾何流發展起來的技術來研究擬愛因斯坦度量及相關問題。特別地，運用curvature dimension inequalities理論和Chang-Gursky-Yang-Case發展用共形幾何的工具研究光滑測度空間的思想來研究Ricci孤立子和擬愛因斯坦度量的分類和剛性及之間關係。本項目研究能促進對流形幾何理解，也將有助於更好地了解許多物理模型。
結題摘要
近四年來，按項目計畫我們取得一些成果： 首先，在由Yamabe常數給出的曲率拼擠下，對具有正數量曲率的調和曲率流形，給出了最佳剛性結果。這改進了Hebey和Vaugon，Singer等學者的一些結果。作為其中一個套用，證明在L^(n/2)-拼擠條件下緊緻梯度收縮Ricci孤立子等距於球面的商空間。這個結果改進了和拓廣了Catino的結果。作為其中另一個套用，對於具有正常數量曲率的局部共形平坦黎曼流形，在一定曲率拼擠條件下，該流形是球的商空間或S^1×S^(n-1)。這個拓廣了Gursky的結果。尤其，對四維流形，在由Yamabe常數給出的曲率拼擠下，給出了一些幾何和拓撲的刻畫。特別地，重新證明和拓廣了Gursky的一些結果和Chang-Gursky-Yang 的共形不變球定理。 其次，研究了緊緻黎曼流形上一類非線性熱方程和拋物方程的梯度估計，並給出這類方程的Hamilton型和Li-Yau型梯度估計。作為套用，得到一些Liouville型定理。研究了帶有加權Poincaré不等式的完備光滑測度空間和完備Ricci孤立子，並且得到一些剛性結果。 最後，研究了一些子流形的幾何和拓撲問題。單位球面中Willmore曲面的剛性和極值超曲面的譜刻畫。在第二基本形式滿足一定整體拼擠條件下，歐氏空間中具有平坦法叢的完備超穩定極小子流形是平面。S_1^(n+1)中的Ⅲ型全臍和半臍洛倫茲等參超曲面的存在性和唯一性，給出了它們的解析表達式。
