《推廣的協變延拓結構理論及其套用》是依託首都師範大學，由趙偉忠擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：推廣的協變延拓結構理論及其套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：趙偉忠
- 依託單位：首都師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究如何將協變延拓結構理論推廣到高維的情形，然後基於該理論深入分析和研究海森堡鐵磁鏈模型，系統有效地構造其新的高維可積方程。在此過程中我們將對相應的可積方程的延拓結構基本方程，延拓代數，貝克隆變換等內容進行細緻的研究。隨著超弦理論的發展，超對稱理論受到人們的普遍關注，我們將進一步把協變延拓結構理論推廣到超對稱的情況，即構造超協變延拓結構理論，以利於我們更好地研究和分析超對稱可積系統。
結題摘要
協變延拓結構理論是研究（1+1）維可積非線性演化方程的重要方法，該理論不僅具有十分清晰的幾何意義，而且便於給出所研究可積方程的Lax 表示以及貝克隆變換。本項目對協變延拓結構理論進行了深入研究。我們成功地將該理論推廣到研究超對稱及高維的非線性演化方程的情形，給出了相應的延拓結構的基本方程。我們然後基於該理論深入分析和研究了海森堡鐵磁鏈模型。海森堡鐵磁鏈模型表示的是經典連續的鐵磁自旋系統的非線性動力學情況，是一個非常重要的可積系統。我們利用協變延拓結構理論成功地構造出一些（2+1）維高階可積海森堡鐵磁鏈方程，並通過幾何等價性關係給出了相應的（2+1）維推廣的非線性薛丁格方程。我們進一步研究了超海森堡鐵磁鏈方程，利用超自旋變數的約束條件，我們構造出一些（2+1）維超海森堡鐵磁鏈方程,並給出了與其規範等價的（2+1）維超非線性薛丁格方程。此外我們導出了這些（2+1）維超非線性薛丁格方程的貝克隆變換，基於貝克隆變換關係，我們給出了這些方程的精確解。對於可積方程，人們已經知道其與無窮維代數之間具有緊密的聯繫。但關於無窮維3-代數與可積方程之間的聯繫還尚未有研究報導。我們在Nambu力學的體系中首次建立了非色散的KdV方程族與無窮維3-代數之間的聯繫。由於在Nambu-Poisson方程中同時包含兩個哈密頓量，這樣將非色散的KdV方程族的哈密頓量代入Nambu-Poisson方程便可得到這些哈密頓量之間的固有關係，這種關係在哈密頓量力學體系中是無法看到的。我們發現非色散的KdV方程不僅有雙哈密頓結構還具有雙Nambu-Hamiltonian結構。
