拿破崙定理則是法國著名的軍事家拿破崙·波拿巴已知最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓中心恰為另一個等邊三角形的頂點。”該等邊三角形稱為拿破崙三角形。如果向內（原三角形不需為等邊三角形）作三角形，結論同樣成立。
基本介紹
- 中文名：拿破崙定理
- 外文名：Napoleon's Theorem
- 別稱：拿破崙三角形
- 提出者：拿破崙·波拿巴
- 提出時間：1795年
- 套用學科：數學、歐幾里得幾何
- 適用領域範圍：數學、教學
- 適用領域範圍：歐式幾何
驗證推導,證明一,證明二,
驗證推導
在△ABC的各邊上向外各作等邊△ABF，等邊△ACD，等邊△BCE。
如何證明：這3個等邊三角形的外接圓共點？
思路1：利用四點共圓來證明三圓共點。這是證明拿破崙定理的基礎。
證明：設等邊△ABF的外接圓和等邊△ACD的外接圓相交於O；連AO、CO、BO。
∴ ∠AFB=∠ADC=60°；
∴ ∠AOB=∠AOC=120°；
∴ ∠BOC=120°；
∵ △BCE是等邊三角形
∴ ∠BEC=60°；
∴ B、E、C、O四點共圓
∴ 這3個等邊三角形的外接圓共點。
拿破崙定理第三證明圖求證：上面3個等邊三角形的中心M、N、P的連線構成一個等邊三角形？
證明一
思路：利用已有的三個圓和三個四點共圓來證明。
證明：設等邊△ABD的外接圓⊙N，等邊△ACF的外接圓⊙M，等邊△BCE的外接圓⊙P
相交於O；連AO、CO、BO。
∵ A、D、B、O四點共圓；
A、F、C、O四點共圓
B、E、C、O四點共圓
∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°；
∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°；
∵ NP、MP、MN是連心線；
BO、CO、AO是公共弦；
∴ BO⊥NP於X；
CO⊥MP於Y；
AO⊥NM於Z。
∴ X、P、Y、O四點共圓；
Y、M、Z、O四點共圓；
Z、N、X、O四點共圓；
∴ ∠N=∠M=∠P=60°；
即△MNP是等邊三角形。
證明二
思路2：證明原三角形幾何中心至外圍三個等邊三角形幾何中心距離相等。
左圖中綠色輔助線利用中線特性求其長度，綠色角度值亦可用餘弦定理求出，結合垂角，進一步利用餘弦定理求出兩幾何中心距離，同理可證原幾何中心與另外兩個等邊三角形的幾何中心距離。
費馬點也是證明拿破崙定理的好方法。
右圖即是用費馬點的性質來推導拿破崙定理的證明方法。
