拓撲群範疇的若干問題的研究

《拓撲群範疇的若干問題的研究》是依託南京師範大學，由賀偉擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：拓撲群範疇的若干問題的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：賀偉
• 依託單位：南京師範大學

項目摘要

拓撲群是拓撲代數領域的熱門研究方向，範疇拓撲學是從範疇論的角度來研究拓撲空間理論。如何將範疇拓撲的思想方法引入拓撲群的研究成為一個非常有意義的研究課題。兩個著名的例子是自由拓撲群和範疇緊拓撲群。本項目將從範疇論角度出發系統研究拓撲群範疇的若干有意義的問題，例如拓撲群目前考慮的極大緊化均是其在緊拓撲空間範疇中的反射而不是在緊拓撲群範疇中的反射，因此一個自然的問題是拓撲群在緊拓撲群範疇中是否存在反射？如果存在緊反射則反射何時成為極大代數緊化？本項目研究主要關注以下三方面的問題：1. 拓撲群的g-閉同態與範疇完備(簡記為c-完備)同態問題；2. 拓撲群範疇的緊Hausdorff反射的存在與構造問題、反射何時成為極大代數緊化問題；3. 拓撲群範疇的Cartesian閉子範疇存在性問題。這些問題的深入研究和解決不僅會豐富範疇拓撲學的研究內容而且為拓撲群的研究提供新的方法和工具以及全新的研究領域。

結題摘要

範疇拓撲學是從範疇論的角度來研究拓撲空間理論。本項目研究拓撲群的範疇的拓撲和代數性質，取得了系列成果：1. 拓撲群範疇的範疇性質，提出並研究了拓撲群範疇的c-proper同態；對於任意無限基數τ，給出了拓撲群範疇的τ-準緊反射；研究了拓撲群的緊化格問題。2. 拓撲群拓撲的gap問題，給出了關於gap的若干基數不變數；給出了局部緊非緊群的前置的精確估計；給出了緊群存在後繼的充分必要條件，表明緊群存在後繼完全由群的代數結構決定；定義了m-正規子群，證明了對局部緊群和緊群，其m-正規子群與李群密切相關。利用m—正規子群給出了稠密子群下連續的準則。3. 拓撲群的可約性問題，研究了離散Abel群的可約問題，解決了Arhangelskii 與Tkachenko提出的一個公開問題；給出了若干類可約拓撲群，特別地證明了實數加法群以及有理數加法群關於通常拓撲均可約。4. 局部極小拓撲群的乘積和商，給出了全局部極小Abel群的完全刻畫；證明了R^n 的稠密子群是局部q極小群若且唯若它是可約群，同時給出了n維圈群 T^n 的子群局部q極小的刻畫。