拉梅微分方程

拉梅方程(Lame differential equation)亦稱納維方程，以位移表示的各向同性線性彈性力學的一組偏微分方程。

基本介紹

• 中文名：拉梅微分方程
• 外文名：Lame differential equation
• 領域：數學
• 別名：納維方程
• 屬性：偏微分方程
• 套用：拉普拉斯方程的變數分離方法

簡介

在數學中，拉梅函式（或橢球諧波函式）是拉梅方程（二階常微分方程）的解。 它在論文（加布里埃爾·拉梅1837）中介紹。 拉梅方程出套用於橢圓坐標中拉普拉斯方程的變數分離方法中。在一些特殊情況下，可以用稱為拉梅多項式的多項式來表示解。

拉梅方程的公式

拉梅方程的等式如下：

其中A和B是常數，是魏爾斯特拉斯(Weierstrass)橢圓函式。 最重要的情況是當和對於整數n和k的橢圓模，在這種情況下，解擴展到在整個複平面上定義的擬態函式。對於B的其他值，解具有分支點。

通過用將獨立變數更改為t，拉梅方程也可以以代數形式重寫為

經過變化之後變成了亨恩方程的特例。

拉梅方程的更一般形式是可以寫入的橢圓方程或橢圓波方程（觀察我們寫的是，而不是上面的A）。

其中k是雅可比橢圓函式的橢圓模量，是常數。 對於，方程式成為具有的拉梅方程。對於方程簡化為Mathieu方程

拉梅方程的威爾斯特拉斯式非常不適合於計算。方程式最合適的形式是以雅可比形式。代數和三角形的使用也很麻煩。拉梅方程出現於量子力學中，作為關於各種周期性和非調諧電位的Schrödinger方程的經典解的小波動方程。

漸近展開

Müller已經獲得了對於κ的大值的周期性橢圓波函式的漸近展開，以及拉梅方程的漸近展開。他對於特徵值獲得的漸近展開是，q近似為一個奇整數（並且由邊界條件更準確地確定）：

觀察條件在q和k（如Mathieu函式的相應計算，扁圓球形波函式和扁圓球形波函式）中交替。具有以下邊界條件（其中K（k）是由完整橢圓積分給出的四分之一周期）

以及導數

分別定義橢球波函式

這裡的上標是指Ec的解，而較低的解Es。最後在q₀擴展，會得到：

在Mathieu方程的極限中，這些表達式減少到Mathieu情況的相應表達式。