拉格朗日插值多項式逼近

拉格朗日插值多項式是一種最常見的多項式插值法，也是一種最常用的逼近工具。

基本介紹

• 中文名：拉格朗日插值多項式逼近
• 外文名：appoximation by Lagrange interpolation polynomials
• 適用範圍：數理科學

簡介

拉格朗日插值多項式逼近是常用的逼近工具。

拉格朗日插值多項式

設 是 [a,b] 上 n 個互異的點，1795年，拉格朗日就證明：如果定義在[a,b]上的函式 f(x) 在 x_k 處的值數不高於 n 的代數多項式L_n(f,x),使得L_n(f,x_k)=f(x_k)(k=1,2,...,n)，倘若記

則有

等式(1) 中的 稱為 f(x)的拉格朗日插值多項式，並稱 為其結點組，而稱 為拉格朗日插值基本多項式。

具體內容

若f(x)是次數不高於 n-1 度代數多項式，則 的幾何意義是有且僅有一條n-1次代數曲線通過平面上預先給定的n個橫坐標互異的點，對於 [a,b]上的連續函式f(x)， 是一個可計算的逼近工具，若f(x)有r階連續導數，則

其中ξ是[a,b]中一個與x有關的點

對於給定的結點組 ，稱

為此結點組的勒貝格函式，而稱 為其勒貝格常數，如果記 為次數不高於 n-1度代數多項式對函式 的最佳逼近值，則有

而且有。

因此，選擇λ_n取值小的結點組是一個重要的工作，但是，對於[a,b]上的任一結點組費伯與伯恩斯坦分別於1914年與1916年證明了

於是人們只能選擇階接近log n 的結點組，最常用的於是在[-1,1]上取切比雪夫多項式

的零點全體

作為結點組，此時相應的勒貝格常數不超過

因此，只要 的連續性模 適合條件

就可以保證 n→∞時， 在 [-1,1]上一致收斂於 f(x)，如果 有r階連續導數，那么不等式

成立，其中C_r>0僅與 r 有關。

推廣

關於插值多項式的逼近不僅考慮一致逼近，還可考慮平均逼近，L^p 度量下的逼近等。

關於插值結點組，不僅限於切比雪夫多項式的零點，而且還可取一般正交多項式的零點，這裡零點的分布情況是十分要緊的，然而，倘若取均勻分布的結點，那么其結果往往是不好的。例如，即使對於像

這樣很好的函式，其等距結點組上的拉格朗日插值多項式也不能在[a,b]上實現對他的逼近。