投影柱面

投影柱面（projecting cylinder）是指其母線通過一條給定的曲線並且都垂直於某一坐標平面的柱面。對於給定的曲線，只要它不位於垂直於某一坐標平面的平面上，就有三個投影柱面。設給定曲線的方程是F(x，y，z)=0，G(x，y，z)= 0，則這三個投影柱面的方程可分別由上述兩個方程消去x，y，z得到例如球面x²+y²+z²=1與平面x+y+z=0的交線的三個投影柱面是x²+y²+xy=1/2，x²+z²+xz=1/2，y²+z²+yz=1/2。它們都是橢圓柱面。

基本介紹

• 中文名：投影柱面
• 外文名：projecting cylinder
• 所屬學科：數學
• 舉例：橢圓柱面、雙曲柱面和拋物柱面
• 所屬問題：立體幾何

基本介紹

設空間曲線C的方程為 過曲線C上每一點作xOy坐標面的垂線，這些垂線形成了一個母線平行於z軸且過曲線C的柱面，這個柱面稱為曲線C關於xOy坐標面的投影柱面，該投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線C在xOy面上的投影曲線，簡稱投影。

在方程組 中消去變數z得到方程 ，該方程中不含z，所以它是一個母線平行於z軸的柱面，又因為曲線C上的點的坐標滿足該方程，所以曲線C上的點都在這個柱面上，方程 就是曲線C關於xOy坐標面的投影柱面方程。它與xOy坐標面的交線 就是曲線C在xOy坐標面上的投影曲線方程。

同理，若從方程組 中分別消去變數x或y，得到該曲線的投影柱面 或 ，則曲線C在yOz坐標面與xOz坐標面上的投影曲線的方程分別為 與 。

例題分析

例1 已知兩球面的方程為和，求它們的交線C在xOy坐標面上的投影的方程。

解：先求包含交線C而母線平行於z軸的柱面方程，將已知兩球面方程相減得，再代入其中任一個方程，即得所求柱面方程為，這就是交線C關於xOy坐標面的投影柱面方程，於是，兩球面的交線在xOy坐標面上的投影方程為

注意：在重積分和曲面積分的計算中，常常需要確定一個立體或曲面在坐標面上的投影曲線，這時要利用投影柱面和投影曲線。

例2 設一個立體由上半球面和錐面所圍成(圖1)，求它在xOy面上的投影。

圖1

解：半球面和錐面的交線為

由上列方程組消去z，得到。這是一個母線平行於z軸的圓柱面，容易看出，這恰好是交線C關於xOy面的投影柱面，因此交線C在xOy面上的投影曲線為

這是xOy面上的一個圓，於是所求立體在xOy面上的投影，就是該圓在xOy面上所圍的部分：。

其他詳細分析

設給定一條空間曲線C和通過它的一點的一條直線L，當直線L沿曲線C平行移動所產生的曲面稱為柱面(圖2)，曲線C稱為柱面的準線，動直線稱為柱面的母線。

圖2

準線C是圓的柱面稱為圓柱面。若母線L與準線圓所在平面垂直，這個柱面稱為正圓柱面(圖3)。

圖3

以下討論母線平行於坐標軸的柱面方程。

在空間直角坐標系中，不含z坐標的方程

表示一個柱面(圖4)，其母線平行於z軸，準線是xy平面上的曲線

圖4

事實上，設空間有一點在方程(1)的圖形上，則有。過點作平行於z軸的直線：

L上的所有點的坐標都滿足方程(1)，即直線L在方程(1)的圖形上。也就是說，方程(1)的圖形是由平行於z軸的直線組成的，因此它是一個母線平行z軸的柱面，準線是柱面與xy平面的交線

同理，方程分別代表母線平行x軸和y軸的柱面。一般來說，在空間直線坐標系中，一個坐標不出現的方程表示母線平行於該坐標軸的柱面。

在空間直角坐標系中，方程

都表示母線平行於z軸的柱面。由於這些柱面與xy平面的交線分別是橢圓、雙曲線和拋物線，因此分別稱為橢圓柱面、雙曲柱面和拋物柱面，它們統稱為二次柱面(圖5)。

圖5（a）

圖5（b）

圖5（c）

在方程（2）中若，可得圓柱面方程：