《微分分次同調新方法及其在有理同倫論中的套用》是依託上海大學，由毛雪峰擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：微分分次同調新方法及其在有理同倫論中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：毛雪峰
- 依託單位：上海大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目擬建立和發展微分分次局部上同調理論，進一步完善微分分次模的不變數理論，對偶微分分次模理論以及微分分次代數的整體維數理論，並運用微分分次同調代數中的新方法研究有理同倫論中的若干問題。 具體地，我們將從事以下幾個方面的研究：在微分分次代數上的微分分次模範疇上定義torsion函子，研究其右導出函子即微分分次局部上同調函子的性質，證明微分分次局部對偶定理等；用同調函子刻畫微分分次模的錐長度，給出其一般的計算方法，探討微分分次代數整體維數與微分分次模範疇的導出範疇的三角維數之間的關係；利用微分分次局部上同調理論研究Gorenstein 微分分次代數，Calabi-Yau微分分次代數以及道路連通拓撲空間的Sullivan代數模型的相關性質。
結題摘要
同調維數理論是同調代數中的核心內容，在微分分次層面上推廣同調不變數理論能為交換局部環論和有理同倫論的發展提供新的代數工具。承擔人將有理同倫論中有關拓撲空間的同倫不變數錐長度引入到微分分次模的不變數理論中，並發現了這一不變數的一些重要性質，開創性地發展了微分分次代數的整體維數理論。通過探討微分分次模的錐長度與微分分次模的level，ghost length和triviality category等重要不變數之間的關係，豐富、發展了微分分次模的不變數理論。另外，承擔人最近發明了連通微分分次代數上微分分次模的錐長度及微分分次代數整體維數的一些計算方法； 並且通過研究發現利用微分分次模的錐長度這一不變數以及微分分次代數的整體維數，可以刻畫連通微分分次代數的同調光滑性質。建立和發展微分分次層面上局部上同調理論是承擔人開展的第二項工作。承擔人經過與國外專家討論發現形式上的推廣該理論沒有多少理論意義, 需充分借鑑前人關於分次局部上同調理論和微分分次torsion函子的研究成果。相關的研究工作還在進行中。研究微分分次代數的Calabi-Yau性質是承擔人開展的第三項研究子課題，在一定的條件下，承擔人發現了微分分次代數的Calabi-Yau性質和其同調代數的Calabi-Yau性質之間的一些關係。
