當我們需要求出(x+1)(x-1)的導數時，我們可以將其展開成為x^2-1，然後進行微分，得出2x。但是當我們遇到(x+1)(x-1)^7這種式子的時候，將其展開極為繁瑣，而連鎖律也不能直接使用，這時我們就需要乘法律拆分這個式子，然後才能對其求導。
乘法律的基本公式為：d/dx(uv)=u(dv/dx)+v(du/dx)
基本介紹
- 中文名：微分乘法律
- 表達式：d/dx(uv)=u(dv/dx)+v(du/dx)
- 套用學科：高等數學
- 適用領域範圍：求導
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乘法律的推導
假設u和v都是自變數為x的函式：
y=uv
y+δy=(u+δu)(v+δv)
y+δy=uv+uδv+vδu+δuδv （展開）
δy=uδv+vδu+δuδv （y=uv）
δy/δx=u(δv/δx)+v(δu/δx)+(δuδv)/δx （兩邊除以δx）
limδx→0 δy/δx=u(limδx→0 δv/δx)+v(limδx→0 δu/δx)+limδx→0 δuδv/δx （加上極限）
dy/dx=u(dv/dx)+v(du/dx)+(limδx→0 δu/δx)×(limδx→0 δv)
dy/dx=u(dv/dx)+v(du/dx)+(du/dx)×0 （當δx→0時，δv→0）
dy/dx=u(dv/dx)+v(du/dx)
最後得出乘法律：
d/dx(uv)=u(dv/dx)+v(du/dx)
我們用乘法律對(x+1)(x-1)^7求導：
d/dx[(x+1)(x-1)^7]
=(x+1)d/dx[(x-1)^7]+[(x-1)^7]d/dx(x+1) （乘法律）
=(x+1)[7(x-1)^6]+(x-1)[(x-1)^6] （連鎖律）
=(7x+7)[(x-1)^6]+(x-1)[(x-1)^6]
=(7x+7+x-1)[(x-1)^6]
=(8x+6)(x-1)^6
乘法律的套用
[(mx+n)^a][(px+q)^b]的導數
在微分(x+1)(x-1)^7時，我們需要進行繁瑣的因式分解，我們可以總結出一個公式，以解決類似的問題。
假設a、b、m、n、p和q都是常數：
d/dx[(mx+n)^a][(px+q)^b]
=[(mx+n)^a]d/dx[(px+q)^b]+[(px+q)^b]d/dx[(mx+n)^a] （乘法律）
=[(mx+n)^a][bp(px+q)^(b-1)]+[(px+q)^b][am(mx+n)^(a-1)] （連鎖律）
=bp[(mx+n)^a][(px+q)^(b-1)+am[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^b]
=bp(mx+n)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]+am(px+q)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]
=(bpmx+bpn)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]+(ampx+amq)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]
=(bpmx+ampx+bpn+amq)[(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]
=[(a+b)mpx+(amq+bnp)][(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]
得出公式：
d/dx[(mx+n)^a][(px+q)^b]=[(a+b)mpx+(amq+bnp)][(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]
這個公式可以用來對形如[(mx+n)^a][(px+q)^b]的式子求導。
u√v的導數
有時我們會接觸u√v類型的式子，我們試著對它求導：
d/dx(u√v)
=u(d/dx√v)+√v[d/dx(u)] （乘法律）
=u(dv/dx)/(2√v)+(√v)(du/dx)
=(u/2)(dv/dx)/(√v)+v(du/dx)/(√v)
=[(u/2)(dv/dx)+v(du/dx)]/(√v)
得出公式：
d/dx(u√v)=[(u/2)(dv/dx)+v(du/dx)]/(√v)
ay的導數
假設y是自變數為x的函式且a為常數，我們來嘗試對ay求導。
=d/dx(ay)
=a(dy/dx)+y[d/dx(a)] （乘法律）
=a(dy/dx) （d/dx(a)=0）
從結果得出公式：
d/dx(ay)=a(dy/dx)
乘法律公式
d/dx(uv)=u(dv/dx)+v(du/dx)
d/dx[(mx+n)^a][(px+q)^b]=[(a+b)mpx+(amq+bnp)][(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]
d/dx(u√v)=[(u/2)(dv/dx)+v(du/dx)]/(√v)
d/dx(ay)=a(dy/dx)
