循環(群論中置換的一種表示)

置換是群論中的一個基本概念，表示集合G={1,2,3,...,n}中每個數換位到另一個位置。循環是一種比較簡單的表示置換的方法。

定義

約定一個記號：

叫做m階循環，循環可以理解為壓縮表示的置換。置換 只與元素的相鄰狀況有關，與哪個元素為首無關，比如 。

性質

如果兩個循環沒有相同的元素，則稱為是不相交的，不相交的兩循環可以相乘，例如：

定理

定理：任何一個置換都可以表示成若干循環的乘積。

證明：對任意置換：

從1開始搜尋，如 ，則得一循環 ，若該循環包含了1到n所有元素，則搜尋停止。否則從餘下的元素中任一元素開始，如上述方法進行，再得一循環，如此反覆直到所有元素都取完為止。

分類

置換分成兩大類：奇置換與偶置換。

若一個置換能分解為奇數個換位之積，則為奇置換，若可以分解為偶數個換位之積，則為偶置換。

舉例說明：

S = (1) (25) (37) (46) 3個換位，為奇置換

S = (1) (2) (3) (4) (5) 0個換位，為偶置換