《復形的Hall代數與導出Hall代數》是依託中國農業大學，由盛潔擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：復形的Hall代數與導出Hall代數
- 依託單位：中國農業大學
- 項目負責人：盛潔
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
Hall代數理論是聯繫代數表示論和李理論的重要橋樑。本項目的研究對象是Bridgeland定義的復形範疇的Hall代數和To?n引入的導出Hall代數。我們將使用箭圖表示和同調代數的結論和方法，尤其關注與李理論相關聯的結構和性質。首先，我們將研究並比較復形範疇的Hall代數和導出範疇的導出Hall代數，然後將Hall代數構造擴展到n-周期復形範疇，與奇周期三角範疇的導出Hall代數作比較，並且試圖用後者給出李超代數的實現。其次，我們希望將Bridgeland的工作推廣到2-周期(A,c)-復形範疇上，由於後者給出了箭圖簇的同調實現，我們試圖用Hall代數方法研究Kac-Moody代數的包絡代數及其高權表示的實現模型。再次，我們將研究由Hernandez和Leclerc給出的量子Grothendieck環與導出Hall代數的同構，試圖建立辮子群作用的對應。
結題摘要
本項目主要研究Bridgeland意義下的Hall代數以及Toën定義的導出Hall代數，通過研究它們的結構和性質揭示代數表示論與李理論的深刻聯繫。眾所周知，遺傳代數的模範疇的Ringel-Hall代數可以實現量子群的正部分，這導致了Lusztig的典範基、Kashiwara的Crystal基等一系列重要成果的誕生。在整體實現量子群的研究中，Toën的導出Hall代數以及Bridgeland的Hall代數至關重要並且建立了新聯繫。為了更好地理解典範基的正性，cluster代數以及量子cluster代數的研究方興未艾。我們的研究內容涉及到有限維代數的表示、Kac-Moody代數的（量子）包絡代數、量子cluster代數等等。主要成果總結如下： 第一，給定一個奇周期的代數三角範疇，我們比較了Bridgeland定義的Hall代數和Toën，Xiao-Xu和Xu-Chen定義的導出Hall代數，證明了前者是後者與一個群代數的張量積的扭代數。 第二，設A為Dynkin箭圖Q在有限域上的路代數，考慮由A的投射模構成的1-周期復形範疇。我們證明了這個範疇中Hall多項式的存在性，並利用退化的Hall乘法定義了一個李代數。然後我們用生成元和關係來刻畫這個李代數。當Q為bipartite箭圖時，這個李代數實現了相應的半單李代數的冪零部分。當Q為A型線性定向的箭圖時，這個李代數實現了自由二階冪零李代數。並且我們刻畫了這個李代數的根系。這些聯繫是嶄新的，被一些專家認為是Hall代數方向的重要進展。 第三，我們研究了Mirkovic-Vilonen多面體上的crystal結構。Anderson和Mirkovic定義了一個運算元並猜測它等同於Kashiwara運算元。利用Mirkovic-Vilonen多面體和預投射代數的聯繫，我們證明了Anderson-Mirkovic猜想的一部分，這回答了Kamnitzer的一個公開問題。 這被Transactions of AMS的審稿人認為是對組合表示論的重要貢獻。 第四，對於賦值型箭圖的量子cluster代數，我們利用Hubery的辦法，證明了其中量子Caldero–Chapoton映射的乘法定理，並且由此構造了一些整基。
