《弦拓撲及其在辛幾何與非交換幾何中的套用》是依託四川大學，由陳小俊擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：弦拓撲及其在辛幾何與非交換幾何中的套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：陳小俊
- 依託單位：四川大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
弦拓撲是近十幾年來興起的一門學科，主要研究光滑流形的路徑空間上的代數結構。本研究項目主要利用弦拓撲的背景，研究辛幾何和非交換幾何中出現的類似的代數結構，比如Batalin-Vilkovisky代數，非交換Poisson代數，等等。具體問題包括：1、研究辛幾何中Fukaya範疇的Hochschild同調和循環同調上的代數結構，以及它們與辛同調、切觸同調之間的關係；在餘切叢情形，研究它們跟弦拓撲之間的關係。2、研究在非交換幾何領域中，李代數和結合代數對應的非交換空間上的辛結構和Poisson結構，以及它們在弦拓撲情形（做為非交換空間的特例）的拓撲學意義。在這個研究過程中，我們並將研究A-無窮範疇的導出範疇意義下的Morita理論，並套用到Fukaya範疇的計算中；同時我們還會研究Calabi-Yau流形中田剛-Todorov引理在非交換幾何下的表達形式。
結題摘要
弦拓撲是近二十年來興起的一門學科，主要研究光滑流形的路徑空間上的結構，它與數學物理、辛幾何與非交換幾何有著廣泛的聯繫。本項目主要研究了與弦拓撲有關的一些代數結構以及它們在辛幾何與非交換幾何中的套用，研究取得了以下進展：釐清了弦拓撲中出現的Batalin-Vilkovisky代數與非交換幾何特別是Calabi-Yau代數中出現的Batalin-Vilkovisky代數之間的關係，證明了數學家Rouquier的一個猜想；將弦拓撲中出現的一些結構套用到Fukaya範疇中，證明了Fukaya範疇上存在一個自然的非交換Poisson結構，以及其循環上同調上存在一個李雙代數結構，等。我們還進一步研究了Koszul Calabi-Yau代數上的非交換Poisson結構，探討了它與經典的如Gerstenhaber代數之間的關係。期間，受此資助，項目組共發表研究論文6篇，都發表於國際知名刊物；培養博士生3名，目前分別就業於重慶大學、天津大學和重慶理工大學；舉辦學術會議、研討班多次；我們還邀請了數名國際知名大學和研究所的數學家訪問四川大學，開展科研交流和合作。總之，項目取得了很大的成功。
